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Rappels prob SInUféPre'nCceOsM tatistique ? Loi de loi de Student et loi de Fisher On notera par E et var les opérateurs d'espérance mathématique et la variance respectivement d'une variable aléatoire Moyenne et variances empiriques d'un échantillon On co

SInUféPre'nCceOsM tatistique ? Loi de loi de Student et loi de Fisher On notera par E et var les opérateurs d'espérance mathématique et la variance respectivement d'une variable aléatoire Moyenne et variances empiriques d'un échantillon On considère une variable aléatoire X de moyenne et de variance ? Soit X XN N variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées i i d C sDuéiv annitteio n On appelle moyenne de l'échantillon ou moyenne empirique la variable aléatoire X n N Xn C Dpaér nition On appelle variance empirique n de l'échantillon la variable aléatoire S C dé nie S n N Xn ?? X C C SD é dén intiioenpa r On appelle variance n empirique non biaisée de l'échantillon la variable aléatoire S N ?? N Xn ?? X N S N ?? n On montre que La moyenne statistique et la variance de la moyenne empirique s'écrivent E X var X ? N la moyenne empirique est un estimateur sans biais de la moyenne statistique Sa variance tend vers quand N tend vers ? on parle alors d'estimateur consistant ou convergent La variance empirique S est un estimateur biaisé de ? E S N ?? N ? ? ? alors que par construction S est un estimateur sans biais de la variance ? E S ? On peut établir que var S ? N ?? Ceci montre que S est un estimateur consistant Si X ?? N ? alors X ?? N ? N X et S ou S sont deux v a indépendantes CLoi de ? C Dé nition Soit Y Y une suite de variables aléatoires i i d normales centrées réduites de loi N La variable aléatoire somme de leurs carrés Z Yi suit la loi dite de khi-deux à degrés de liberté et qu'on note ? et de densité i fZ z ? z ?? e ?? z z ? z o? ? C est la fonction gamma dé nie par ? ? t xt ?? e ??t dt C E B La gure a che les di érents tracés de la densité de probabilité de loi de B khi-deux pour di érentes valeurs de Densité de probabilité z B Figure Loi de chi-deux pour di érents degrés de liberté Moyenne et variance On montre que E Z et var Z Cas de la variance empirique non biaisée Pour un échantillon de taille N o? N et tels que les Xn ?? N ? la variable aléatoire N ?? S ? ?? ? N ?? CLoi de Student C aDloér snliaABAtivo ?? ??enat N ?B T C s NdSo éon i t en niinetdAcéopmeetnmdBeandleteeursaxtivo a telles que A T B suit une loi de Student à N degrés de liberté et qu'on nNote T N Sa densité de probabilité fT s'écrit fT t ? ?? N ? N ? N t N ?? N R t C La gure fournit les tracés de fT pour N N N N Densité de probabilité - - - -