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Wnv html to pdf Rechercher sur Wikipédia Créer un compte Loi de réciprocité quadratique langues Article Discussion Lire Modi ?er le code Voir l ? historique En mathématiques en particulier en théorie des nombres la loi de réciprocité quadratique établit d

Rechercher sur Wikipédia Créer un compte Loi de réciprocité quadratique langues Article Discussion Lire Modi ?er le code Voir l ? historique En mathématiques en particulier en théorie des nombres la loi de réciprocité quadratique établit des liens entre les nombres premiers plus précisément elle décrit la possibilité d'exprimer un nombre premier comme un carré modulo un autre nombre premier Conjecturée par Euler et reformulée par Legendre elle a été correctement démontrée pour la première fois par Gauss en Elle permet de résoudre les deux problèmes de base de la théorie des résidus quadratiques étant donné un nombre premier p déterminer parmi les entiers lesquels sont des carrés modulo p et lesquels n'en sont pas étant donné un entier n déterminer parmi les nombres premiers modulo lesquels n est un carré et modulo lesquels il n'en est pas un Elle est considérée comme un des théorèmes les plus importants de la théorie des nombres et a de nombreuses généralisations Énoncés modi ?er le code L'énoncé complet de Gauss comporte trois assertions le théorème fondamental ? pour deux nombres premiers impairs et deux lois complémentaires ? Il faut toutefois observer que si la première loi complémentaire est e ?ectivement une loi de réciprocité la seconde loi complémentaire ne l'est pas en e ?et avec la notation de Legendre dé ?nie ci-dessous la première loi complémentaire équivaut bien à c'est-à-dire que ?? se comporte e ?ectivement comme un nombre premier vis à vis de la loi de réciprocité quadratique Il n'en est pas de même du nombre dont la résiduité modulo p est simplement caractérisée par seconde loi complémentaire la loi de réciprocité est essentiellement un théorème concernant les nombres impairs en général et c'est de fait à ces nombres qu'elle se généralise par le symbole de Jacobi puis par celui de Kronecker Premier énoncé modi ?er le code Théorème fondamental Étant donnés deux nombres premiers impairs distincts p et q si p ou q est congru à modulo alors p est un carré modulo q si et seulement si q est un carré modulo p Plus explicitement l'équation d'inconnue x xW ??ipnmnoodvqaatuinveesoPluDtionFsiTetoseoullesmDenet smi l'oéquation d'inconnue y y ?? q mod p a une solution si p et q sont congrus à modulo alors p est un carré modulo q si et seulement si q n'est pas un carré modulo p Plus explicitement l'équation x ?? p mod q a une solution si et seulement si l'équation y ?? q mod p n'a pas de solution Première loi complémentaire ?? est un carré modulo p si et seulement si p est congru à modulo Deuxième loi complémentaire est un carré modulo p si et seulement si p est congru à ou ?? modulo Symbole de Legendre modi ?er le code En utilisant le symbole de Legendre ces trois énoncés peuvent être résumés respectivement par Théorème fondamental autrement dit sauf si p et q sont tous deux congrus à ?? mod auquel cas Première loi complémentaire Deuxième loi complémentaire Exemples modi ?er le