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M ResTel ?? Mise a Niveau en Traitement du Signal Exercices de Révision Transformées de Fourier et Hilbert Calculer les transformées de Fourier des signaux continus suivants s t A cos ?fot donc s t A e ?f t e ?? ?f t A e e ?f t A e ?? e ?? ?f t S f A e ? f ?? f A e ?? ? ff s t B sin ?f t donc s t B e e ?f t ?? B e ?? e ?? ?f t S f B e ? f ?? f ?? B e ?? ? f f s t Ae ?? ? t ? ? S f A e ?? ? t e ?? ?f tdt ?? ? ? ? ? A e ?te ?? ?ftdt A e ?? ?t e ?? ?f t dt ?? ? ? ? A e ?? ?te ?ftdt A e ?? ?t e ?? ?f t dt H ??f H f H f H f avec ? ? H f A e ?? ?te ?? ?ftdt A e ??t ? ?f dt ?? ? A ?f e ??t ? ?f ? ?? ? A ?f ?? ? A ?f donc S f A ? ?? ?f A ? ?f A ? ? ? f s t ?? e ?? t ? ? ? Cette fonction est solution de l ? équation di ?érentielle d dt s t ?? ? ? ?? t ? e ?? t ? ?? t ? s t COn considère la transformée de Fourier de cette identité TF d dt s t ? ?? ? d dt s t e ?? ?f t dt ?f ? s t e ?? ?ftdt ?? ? ?f S f et TF ?? t ? s t ?? ? ? ts t e ?? ?ftdt ?? ? ?? ? ? s t ?? ? ?? ? d df e ?? ?ft dt ? ? d df S f donc ?f S f ? ? d df S f ou d df S f ?? ? ? f S f ?? f ? S f avec ? ? ? donc S f satisfait la même équation di ?érentielle que s t donc S f Ae ?? f ? Ae ??f ? ? Il reste a déterminer la constante A par exemple en considérant ? S A s t dt ?? ? car s est la densité de probabilité Gaussienne s t e ??t t ? t ? ? S f s t e ?? ?ftdt e ??t e ?? ?f t dt ?? ? qui est H f calculée a l ? exercice avec A ? donc S f ?f Soit X f T F x t Calculer les transformées de Fourier des signaux continus suivants x t x ??t ? X f x ??t e ?? ?ftdt ?? ? après changement de variable t ? ??t ? x t e ?ftdt X ??f ?? ? x