UNS - Probabilités pour l’informatique L2 2018-2019 Partiel du 11 mars 2019 Dur
UNS - Probabilités pour l’informatique L2 2018-2019 Partiel du 11 mars 2019 Durée : 2h Consignes • L’usage de tout document ou matériel électronique est interdit. • Dans l’exercice 1, les réponses devront être écrites sous forme d’expressions faisant intervenir les coefficients binomiaux. On ne demande pas de calculer explicitement ces expressions. • Dans les exercices 4 et 5, les résultats seront présentés sous forme de fractions irréductibles. • Toutes les réponses doivent être rédigées convenablement, dûment justifiées... • Il y a des questions simples cachées parmi les questions compliquées : lisez le sujet en entier ! • Barême indicatif : Exercice Points 1 4 2 2 3 5 4 4 5 5 1 Dénombrement Exercice 1. On constitue un comité de 8 personnes choisies parmi 15 femmes et 12 hommes. 1. Combien y a-t-il de comités possibles ? 2. Même question si le comité contient 4 hommes et 4 femmes. 3. Même question si le comité compte au moins 2 femmes. Corrigé de l’Exercice 1. 1. Il s’agit d’une combinaison de 8 personnes parmi les 27 possibles : il y en a 27 8 . 2. On choisit d’abord 4 femmes parmi les 15, puis 4 hommes parmi les 12 : il y a 15 4 × 12 4 comités possibles. 3. L’ensemble complémentaire est celui des comités avec au plus une femme. Il y a 12 8 comités sans femme et 15 1 × 12 8 comités avec une femme. Il y a donc 27 8 − 12 8 − 15 1 × 12 8 comités avec au moins deux femmes. Exercice 2. Soit n ≥1 un entier. Calculer n X k=0 k n k . On pourra dériver la fonction x 7→(1 + x)n. 1 Corrigé de l’Exercice 2. La formule du binôme de Newton nous dit que, pour tout x ∈R, on a (1 + x)n = Pn k=0 n k xk. La dérivée du terme de droite est n(1 + x)n−1. La dérivée du terme de gauche est Pn k=0 n k kxk. On a donc, pour tout x ∈R, n X k=0 n k kxk−1 = n(1 + x)n−1. (1) En particulier, pour x = 1, on obtient Pn k=0 k n k = n2n−1. 2 Probabilités Exercice 3. Une urne contient 8 boules numérotées de 1 à 8. On tire 4 fois de suite une boule avec remise (c’est-à-dire qu’on remet la boule dans l’urne après chaque tirage). 1. Quel est l’univers Ωde cette expérience ? Quel est son cardinal ? 2. Déterminer les probabilités d’obtenir. (a) Au moins une fois le nombre 3. (b) Au moins deux fois le nombre 4. (c) Quatre nombres différents. (d) Quatre nombres dans un ordre strictement croissant. Corrigé de l’Exercice 3. 1. L’univers de cette expérience est Ω= {1, ..., 8}4, qui est de cardinal 84. 2.a) Notons A l’événement "on obtient au moins une fois le nombre 3". Son complémentaire est Ac = "tous les nombres sont différents de 3". Calculons le cardinal de Ac. Pour chacun des nombres, on a 7 possibilités, donc on a Card(Ac) = 74. Finalement, on a P(A) = 1 −74 84 . b) Notons B l’événement "on obtient au moins deux fois le nombre 4". Son complémentaire est Bc = "on obtient zéro ou une fois le nombre 4". De même qu’à la question précédente, il y a 74 manière d’obtenir zéro fois le nombre 4. Calculons le nombre de manières d’obtenir exactement une fois le nombre 4. On choisit où se trouve le nombre 4 : il y a 4 possibilités ; ensuite, on choisit les 3 autres nombres, et il y a 7 possibilités pour chacun d’eux. En tout, il y a 3×73 possibilités pour obtenir exactement une fois le nombre 4. On a donc Card(Bc) = 74 + 3 × 73. On en déduit que P(B) = 1 −74 + 3 × 73 84 . c) Notons C l’événement "les nombres obtenus sont tous différents", et calculons son cardinal. Choisir 4 nombres tous différents parmi 8, c’est choisir un arrangement de 4 éléments parmi 8 : il y a 8! 4! possibilités pour cela. On a donc P(C) = 8! 4!84 . 2 d) Notons D l’événement "les quatre nombres obtenus sont dans un ordre strictement croissant". Pour chaque combinaison de quatre éléments parmi huit, il y a une et une seule suite strictement décroissante de 4 éléments parmi huit : comme, dans une combinaison de 4 éléments parmi 8, les éléments sont tous différents, et leur ordre n’est pas pris en compte, on peut choisir de les écrire de manière strictement décroissante. On a donc Card(D) = 8 4 , et donc P(D) = 8 4 84 . Exercice 4. Une boite contient 200 pièces en chocolat dont 50 sont en chocolat blanc, les autres en chocolat noir. • Parmi les pièces en chocolat blanc, 60% sont des pièces de 2 euros, 30% sont des pièces de 1 euro, les autres sont des pièces de 50 centime. • Parmi les pièces en chocolat noir, 40% sont des pièces de 2 euros, et les autres sont des pièces de 1 euro. On tire au hasard une pièce de la boite, et on considère que le tirage est équiprobable. Dans tout cet exercice, on donnera les résultats sous la forme d’une fraction irréductible. On définit les événements suivants • A = "la pièce tirée est en chocolat blanc". • B = "une pièce de 2 euros est tirée". • C = "une pièce de 1 euro est tirée". • D = "une pièce de 50 centimes est tirée". 1. Calculer la probabilité que la médaille tirée soit une pièce de 1 euro en chocolat blanc. 2. Quelle est la probabilité de tirer une pièce de 1 euro ? 3. Sachant que la pièce tirée est une pièce de 1 euro, quelle est la probabilité pour que la pièce soit en chocolat noir ? 4. Sachant que la pièce tirée est une pièce de 50 centimes, donner la probabilité que celle-ci soit en chocolat blanc. Corrigé de l’Exercice 4. 1. On cherche ici la probabilité de A ∩C. On sait que P(C|A) = 3 10, et que P(A) = 50 200 = 1 4, donc P(A ∩C) = P(A) × P(C|A) = 1 4 × 3 10 = 3 40. La probabilité que la médaille tirée soit une pièce de 1 euro en chocolat blanc est de 3 40. 2. On a P(C|A) = 60 100 = 3 5, et P(A) = 150 200 = 3 4. Par la formule des probabilités totales, on a donc P(C) = P(A) × P(C|A) + P(A) × P(C|A) = 3 40 + 3 4 × 3 5 = 3 40 + 18 40 = 21 40. 3 La probabilité de tirer une pièce de 1 euro est de 21 40. 3. On cherche ici P(A|C). On peut appliquer la formule de Bayes, qui nous donne P(A|C) = P(C|A) × P(A) P(C) = 3 5 × 3 4 21 40 = 3 5 × 10 7 = 6 7. Sachant que la pièce tirée est une pièce de 1 euro, la probabilité pour que la pièce soit en chocolat noir est de 6 7. 4. Il n’y a aucune pièce de 50 centimes parmi les pièces en chocolat noir, et il y en a parmi les pièces en chocolat blanc. Si une pièce de 50 centimes est tirée, elle est donc forcément en chocolat blanc ! Sachant que la pièce tirée est une pièce de 50 centimes, la probabilité que celle-ci soit en chocolat blanc est donc de 1. Exercice 5. On dispose d’un dé cubique dont les faces sont numérotés de 1 à 6. On note pk la probabilité d’obtenir la face numérotée k. Le dé est pipé, de sorte que les différentes faces n’ont pas la même probabilité d’être obtenues. Dans tout cet exercice, on suppose qu’il existe un nombre α > 0 tel que pk = k α. 1. Montrer que l’on a nécessairement α = 21. On lance une fois le dé, et on considère les événements suivants • A : "le nombre obtenu est pair". • B : "le nombre obtenu est supérieur ou égal à 3". • C : "le nombre obtenu est 3 ou 4". 2. Calculer la probabilité des événements A, B et C. 3. Calculer la probabilité que le nombre obtenu est supérieur ou égal à 3, sachant qu’il est pair. 4. Les événements A et C sont-ils indépendants ? Les événements A, B et C sont-ils indépendants ? Corrigé de l’Exercice 5. 1. On doit avoir 1 = 6 X k=1 pk = 6 X k=1 k α = 1 α 6 X k=1 k = 21 α . On en déduit bien que α = 21. 2. On a P(A) = p2 + p4 + p6 = 2 21 + 4 21 + 6 uploads/s1/ corrige-partiel.pdf
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- Publié le Aoû 23, 2022
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