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LYCÉE DE MATEUR Devoir de contrôle N:1 avec correction intéractive Hamda Abbes

LYCÉE DE MATEUR Devoir de contrôle N:1 avec correction intéractive Hamda Abbes © H.Abbes 2016 22 novembre 2016 2 3 4 Exercice 1 ( 3 points ) Partie A :Vrai ou Faux Début 1. Soit (un) une suite réelle. (a) Si lim n→+∞un = 1 alors un = 1 à partir d’un certain rang. Vrai Faux (b) Si pour tout n ∈N , un > 0 et (un) converge alors lim n→+∞un > 0 à partir d’un certain rang. Vrai Faux 2. f est une fonction déﬁnie et strictement croissante sur R∗ +, g est la fonction déﬁnie sur R∗ + par g(x) = f (x) x . Si g décroissante sur R∗ + alors f est continue sur R∗ +. Vrai Faux 5 3. On a lim x→0 sinx x = 1 et E(1) = 1 , on considère la fonction ξ déﬁnie sur R∗par ξ(x) = E µsinx x ¶ alors : (a) lim x→0ξ(x) = 1 . Vrai Faux (b) La fonction ξ(x) n’est pas continue en 0 . Vrai Faux 4. Soit f et g deux fonctions déﬁnies par f (x) = p 1+ x2 +1 x2 et g(x) = x2 µ cos µ 1 x ¶ −1 ¶ alors lim x→0g ◦f (x) = 0 . Vrai Faux Fin Votre Score : Réponses 6 Partie B :lécture graphique Le graphique ci-contre C est la représentation graphique dans un repère orthonormé d’une fonction f déﬁnie sur]−1,+∞[. C admet une asymp- tote verticale d’équation x = −1, une asymptote oblique D au voisinage de +∞et une tangente horizontale en 0. 7 Début : 1. Déterminer l’équation de l’asymptote D . D d’équation 2. Par lecture graphique donner lim x→+∞ 1 x −f (x). lim x→+∞ 1 x −f (x) = 3. Déterminer lim x→+∞x f µ 1 x ¶ . lim x→+∞x f µ 1 x ¶ = Fin Réponses : Votre Score : Réponses 8 Exercice 2 ( 6 points ) Partie A Début On considère dans C l’application P(z) = 1−i 2 z2 − p 3z +1+i. 1. (a) Résoudre dans C l’équation P(z) = 0. (b) On note A et B les points d’afﬁxes zA et zB, solutions de l’équation P(z) = 0,où Im(zA) > Im(zB). Donner l’écriture algébrique de zA. 2. (a) Calculer arg Ãp 3+i 1−i ! . (b) En déduire l’écriture exponentielle de zA. 3. Donner alors une valeur exacte de cos 5π 12 et sin 5π 12 . 9 Fin Réponses : Partie B Début Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O,− → u ,− → v ). On considère l’application F déﬁnie par : F : C − → C z 7− → p 3 6 (1−i)z2 + p 3 3 (1+i) 1. Montrer que F(z) = z ⇐ ⇒P(z) = 0. Donner alors les points ﬁxes de F. 2. Soit ∆la droite parallèle à l’axe des ordonnées passant par A. On note E = © M(z′)/z′ = F(z) où z est l’afﬁxe d’un point de la droite ∆ ª . (a) Montrer que Re(z) = p 3−1 2 . (b) Nous avons tracé une partie de l’ensemble E, Expliquer comment, à l’aide de cet ensemble, construire uniquement au compas les points A et B. Votre Score : Réponses 10 Fin Réponses : Exercice 3 ( 5 points ) Soit n ∈N∗. Soit fn une fonction déﬁnie sur [0,1] par : fn(x) = 1−x 2 −xn. Début 1. (a) Étudier la variation de la fonction fn sur [0,1]. Fin Réponses : Votre Score : Réponses Votre Score : Réponses 11 (b) Montrer que pour tout x ∈[0,1] on a −1 2 ≤fn(x) ≤1 . (c) Montrer qu’il existe un unique αn ∈[0,1] telle que fn(αn) = 0. 2. Montrer que pour tout n ∈N∗, fn+1 (αn) > 0 . 3. En déduire que (αn)n∈N∗est croissante et qu’elle converge vers une limite ℓ. 4. Supposons qu’il existe M ∈R tel que pour tout n ∈N∗, 0 ≤αn ≤M < 1 . (a) Montrer que lim n→+∞αn n = 0. (b) Montrer qu’il y a une contradiction et en déduire ℓla limite de (αn)n∈N∗. 12 Exercice 4 ( 6 points ) On considère la suite de nombres réels (un) déﬁnie sur N par : u0 = −1, u1 = 1 2 et pour tout entier naturel n, un+2 = un+1 −1 4un . Début 1. Calculer u2 et en déduire que la suite (un)n’est ni arithmétique et ni géométrique. u2 = 2. On déﬁnit la suite (Vn) en posant, pour tout entier naturel n : Vn = un+1 −1 2un. (a) Montrer que (Vn) est une suite géométrique et exprimer Vn en fonction de n. Vn = (b) En déduire la limite de Vn. 13 (c) Montrer que lim n→+∞un = 0. lim n→+∞un = 3. On déﬁnit la suite (Wn) en posant, pour tout entier naturel n : Wn = un Vn . (a) Montrer que pour tout n ∈N :Wn+1 = Wn +2. (b) Montrer que pour tout entier naturel n : un = 2n −1 2n . 4. Pour tout entier naturel n, on pose : Sn = k=n X k=0 uk = u0 +u1+...+un. (a) Calculer Sn. (b) Montrer que lim n→+∞Sn = 2. Fin Réponses : Votre Score : Réponses 14 Solutions to Quizzes Solution to Quiz : Soit la suite (un)n∈N∗déﬁnie por tout n ̸= 0, par :un = 1+ 1 n . Alors lim n→+∞un = 1, mais un ̸= 1 alors 1.(a)Faux ■ Solutions to Quizzes 15 Solution to Quiz : Soit la suite (un) déﬁnie pour n ∈N par : un = 1 n+1. Alors la suite (un) convergente et un > 0, mais lim n→+∞un = 0. Alors 1.(b)Faux ■ Solutions to Quizzes 16 Solution to Quiz : g d’écroissente, Soit a > 0 . Pour tout x ∈R∗ +\{a} = ⇒g(x)−g(a) x−a É 0. = ⇒ f (x) x −f (a) a x −a É 0. = ⇒1 x × f (x)−f (a) x −a −f (a) ax É 0. = ⇒f (x)−f (a) x −a É f (a) ax carx Ê 0. Or 0 É f (x)−f (a) x −a car f strictement croissante sur R∗ +. = ⇒0 É f (x)−f (a) x −a É f (a) a . = ⇒ ¯ ¯f (x)−f (a) ¯ ¯ É f (a) a |x −a|. Comme lim x→a|x −a| = 0, alors lim x→a f (x) = f (a). Alors 2.Vrai ■ Solutions to Quizzes 17 Solution to Quiz : Pour x ̸= 0 on a sinx x < 1 , Et puisque lim x→0ξ(x) = 1. Alors E µsinx x ¶ = 0 = ⇒lim x→0ξ(x) = 0. Alors 3.(a)Faux ■ Solutions to Quizzes 18 Solution to Quiz : Pour tout x ∈ ¤ −π 2 , π 2 £ on a 0 < sinx x < 1. Alors lim x→0+ξ(x) = lim x→0−ξ(x) = lim x→0ξ(x) = 0. Donc La fonction ξ(x) est continue en 0. Alors 3.(b)Faux ■ Solutions to Quizzes 19 Solution to Quiz : On a lim x→0f (x) = +∞. = ⇒lim x→0g ◦f (x) = lim x→+∞g(x). = ⇒lim x→0g ◦f (x) = lim x→0 cosx −1 x2 = −1 2. Alors 4. Faux ■ Solutions to Quizzes 20 Solution to Quiz : Par lécture graphique, soit A(0,−1) et B(1,0). La pante da la droite (AB) est :0−(−1) 1−0 = 1, la droit (AB) coup l’axe des y en −1. Alor :l’équation de l’asymptote D au voisinage de +∞est y = x −1 . ■ Solutions to Quizzes 21 Solution to Quiz : C admet une asymptote oblique D d’équation y = x −1. Alors lim x→+∞f (x)−x = −1. Donc lim x→+∞ 1 x −f (x) = 1 . ■ Solutions to Quizzes 22 Solution to Quiz : Si x →+∞, 1 x →0 Alors lim x→+∞x f µ 1 x ¶ = lim x→0 f (x) x Alors lim x→+∞x f µ 1 x ¶ = f ′(0) Or graphiquement f ′(0) = 0 Donc lim x→+∞x f µ 1 x ¶ = 0 . ■ Solutions to Quizzes 23 Solution to Quiz : Résolution de l’équation P(z) = 0 On a ∆= (− p 3)2 −41−i 2 (1+i) = −1 Alors z1 = p 3−i 1−i et z2 = p 3+i 1−i Donc SC = (p 3−i 1−i , p 3+i 1−i ) . ■ Solutions to Quizzes 24 Solution to Quiz : p 3+i 1−i = p 3−1 2 +i p 3+1 2 et p 3−i 1−i = p 3+1 2 +i p 3−1 2 Puisque Im(zA) > Im(zB) alors zA = z2 Alors zA = p 3+i 1−i Donc zA = p 3−1 2 +i p 3+1 2 . ■ Solutions to Quizzes 25 Solution to Quiz : arg Ãp 3+i 1−i ! ≡arg ¡p 3+i ¢ −arg(1−i)[2π]. Alors arg Ãp 3+i 1−i ! ≡π 6 − ³−π 4 ´ [2π] Donc arg Ãp 3+i 1−i ! ≡5π 12 [2π] . ■ Solutions to Quizzes uploads/s1/ devoir-de-controle-n01-avec-correction-math-bac-mathematiques-2016-2017-mr-hamda-abbes.pdf