Devoir de math´ ematiques - BTS Formulaire de math´ ematiques autoris´ e. Exerc
Devoir de math´ ematiques - BTS Formulaire de math´ ematiques autoris´ e. Exercice 1 8 points 1. D´ eterminer les transform´ ees de Laplace F et G des fonctions f et g d´ efinies par : f(t) = (cos 2t −3 sin 4t) U(t) ; g(t) = cos t −π 6 U t −π 6 2. D´ efinir la fonction f repr´ esent´ ee graphiquement ci- contre en utilisant l’´ echelon unit´ e U, et d´ eterminer sa transform´ ee de Laplace F(p). −2 −1 0 1 2 3 4 −1 0 1 2 3. D´ efinir la fonction g repr´ esent´ ee graphiquement ci- contre en utilisant l’´ echelon unit´ e U, et d´ eterminer sa transform´ ee de Laplace G(p). −2 −1 0 1 2 3 4 −1 0 1 2 Exercice 2 Session 2011 12 points Les deux parties de cet exercice sont ind´ ependantes Le but de la partie A est de calculer le d´ eveloppement en s´ erie de Fourier d’une fonction p´ eriodique, puis de s’int´ eresser ` a la valeur efficace de cette fonction sur une p´ eriode. Dans la partie B, il s’agit de retrouver la repr´ esentation graphique d’une fonction ` a partir de son d´ eveloppement en s´ erie de Fourier puis de d´ efinir cette fonction. Partie A On consid` ere la fonction f p´ eriodique, de p´ eriode 2, d´ efinie sur l’ensemble des nombres r´ eels par : f(t) = 0, 5t + 0, 5 si −1 < t < 1 f(1) = 0, 5 Le d´ eveloppement en s´ erie de Fourier de la fonction f s’´ ecrit : S(t) = a0 + +∞ X n=1 (an cos(nωt) + bn sin(nωt)) . 1. Tracer la repr´ esentation graphique de la fonction f sur l’intervalle [−4 ; 4] en utilisant la figure 1 du document r´ eponse num´ ero 1. 2. D´ emontrer que a0 = 1 2. 3. (a) Pr´ eciser la valeur de la pulsation ω. (b) En utilisant une int´ egration par parties, calculer b1. On admet dans la suite de l’exercice que, pour tout nombre entier n sup´ erieur ou ´ egal ` a 1 : bn = (−1)n+1 nπ . 4. Soit g la fonction d´ efinie pour tout nombre r´ eel t par g(t) = f(t) −0, 5. Devoir de math´ ematiques - BTS 1/2 (a) Tracer la repr´ esentation graphique de la fonction g sur la figure 3 du document r´ eponse num´ ero 1. (b) Quelle propri´ et´ e de sym´ etrie observe-t-on sur la repr´ esentation graphique de la fonction g ? (c) En comparant les coefficients de Fourier des fonctions f et g, montrer que an = 0 pour tout nombre entier n sup´ erieur ou ´ egal ` a 1. 5. On rappelle que la valeur efficace de la fonction f sur une p´ eriode est le nombre r´ eel positif, not´ e feff, d´ efini par : f 2 eff= 1 2 Z 1 −1 [f(t)]2 dt. D´ emontrer que f 2 eff= 1 3. 6. On rappelle la formule de Parseval : f 2 eff= a2 0 + 1 2 +∞ X n=1 a2 n + b2 n . On d´ ecide de calculer une valeur approch´ ee, not´ ee P, de f 2 effen se limitant aux cinq premiers termes de la somme, c’est-` a-dire : P = a2 0 + 1 2 5 X n=1 a2 n + b2 n . (a) Calculer une valeur approch´ ee ` a 10−3 pr` es de P, puis de P f 2 eff . (b) En d´ eduire, en pourcentage, l’erreur commise quand on remplace f 2 effpar P. Document r´ eponse no 1 ` a joindre avec la copie (exercice 2) 0,5 1,0 −0,5 −1,0 −1,5 1 2 3 −1 −2 −3 −4 O Figure 2 : repr´ esentation graphique de la fonction f (` a compl´ eter) 0,5 1,0 −0,5 −1,0 −1,5 1 2 3 −1 −2 −3 −4 O Figure 3 : repr´ esentation graphique de la fonction g (` a compl´ eter) Devoir de math´ ematiques - BTS 2/2 uploads/s1/ devoir-fourier-laplace-sexies.pdf
Documents similaires
-
27
-
0
-
0
Licence et utilisation
Gratuit pour un usage personnel Attribution requise- Détails
- Publié le Jan 08, 2022
- Catégorie Administration
- Langue French
- Taille du fichier 0.0447MB