Fonctions de 2 et 3 variables Administration Économique et Sociale Mathématique

Fonctions de 2 et 3 variables Administration Économique et Sociale Mathématiques XA100M 1 Définitions Une fonction à 2 variables est un objet qui à tout couple de nombres réels (x, y) associe au plus un nombre réel. Si f est une telle fonction, on note f : R × R →R. Si f associe un nombre à (x, y), on note f(x, y) ce nombre. On dit qu’on peut évaluer f en (x, y) et f(x, y) est la valeur de f en (x, y). Une fonction à 3 variables est un objet qui à tout triplet de nombres réels (x, y, z) associe au plus un nombre réel. Si f est une telle fonction, on note f : R × R × R →R. Si f associe un nombre à (x, y, z), on note f(x, y, z) ce nombre. On dit qu’on peut évaluer f en (x, y, z) et f(x, y, z) est la valeur de f en (x, y, z). Si f est une fonction (à 2 ou 3 variables), l’ensemble des valeurs en lesquelles on peut évaluer f est le domaine de définition de f. On note D(f). Exemple Soit f : R × R → R (x, y) 7→ 1 x −y . C’est une fonction à 2 variables qu’on peut évaluer en tous les couples (x, y) tels que x −y ̸= 0. Ainsi D(f) = {(x, y) ∈R × R: x ̸= y} . On a f(2, 3) = 1 2 −3 = −1. Exemple Soit g : R × R × R → R (x, y, z) 7→    yz x si x ̸= 0 0 sinon. C’est une fonction à 3 variables qu’on peut évaluer en tous les couples (x, y, z). Ainsi D(g) = R × R × R. On a g(2, 3, 1) = 3 × 1 2 = 3 2 et g(0, 32, 12) = 0. 2 Extremums sous contrainte : méthode de substitution 2.1 Extremums sous contrainte Soit f : R × R → R (x, y) 7→ f(x, y) une fonction de deux variables et c : R × R → R (x, y) 7→ c(x, y) une deuxième fonction de deux variables. Chercher le maximum de f sous la contrainte c(x, y) = 0 c’est chercher, parmi tous les couples (x, y) de D(f) tels que c(x, y) = 0, celui pour lequel f(x, y) est maximum. Un couple (x0, y0) de D(f) est un maximum sous la contrainte c(x, y) = 0 si c(x0, y0) = 0 ; pour tout couple (x, y) de D(f) tel que c(x, y) = 0, on a f(x, y) ≤f(x0, y0). ! Une fonction peut ne pas avoir de maximum sous contrainte. Chercher le minimum de f sous la contrainte c(x, y) = 0 c’est chercher, parmi tous les couples (x, y) de D(f) tels que c(x, y) = 0, celui pour lequel f(x, y) est minimum. Un couple (x0, y0) de D(f) est un minimum sous la contrainte c(x, y) = 0 si c(x0, y0) = 0 ; pour tout couple (x, y) de D(f) tel que c(x, y) = 0, on a f(x, y) ≥f(x0, y0). ! Une fonction peut ne pas avoir de minimum sous contrainte. 2.2 Méthode par substitution Objectif : chercher les extremums d’une fonction de deux variables f sous la contrainte c. Limite de la méthode : pas toujours réalisable. Mise en œuvre : dans la contrainte c(x, y) = 0, exprimer 1. la variable x en fonction de y : on obtient x = h(y) 2. ou la variable y en fonction de x : on obtient y = h(x). Dans les deux cas, h est une fonction de une variable. Les valeurs f(x, y) deviennent alors 1. soit g(y) = f (h(y), y) dans le premier cas ; 2. soit g(x) = f (x, h(x)) dans le second cas. Il faut alors chercher les extremums de la fonction g qui est une fonction d’une variable (cf. TD 4 de méthodologie). Exemple On considère la fonction f(x, y) = 2xy de domaine de définition D(f) = R et la contrainte c(x, y) = 2x + 3y −6. Les couples (x, y) tels que c(x, y) = 0 sont ceux tels que y = 2 −2 3x. Ainsi, les couples vérifiant c(x, y) = 0 sont transformés par f en f(x, y) = f  x, 2 −2 3x  = 2x  2 −2 3x  et on doit étudier les extremums de g(x) = 2x  2 −2 3x  . On calcule g′(x) = −8 3x + 4. Ainsi g′(x) > 0 pour x < 3 2 et g′(x) < 0 pour x > 3 2 et g a un maximum atteint en x = 3 2. On a alors y = 2 −2 3 × 3 2 = 1. Sous la contrainte 2x + 3y −6 = 0, la fonction f(x, y) = 2xy admet un maximum, ce maximum est atteint en 3 2, 1
et vaut f 3 2, 1  = 3. ! La fonction f(x, y) = 2xy n’a pas de minimum sous la contrainte 2x + 3y −6 = 0. 3 Dérivées partielles premières et deuxièmes 3.1 Dérivées partielles premières des fonctions à deux variables Soit f : R × R → R (x, y) 7→ f(x, y) une fonction à 2 variables. On dit que f admet une dérivée première par rapport à x en (x, y) si, la dérivée de la fonction fy : R → R x 7→ f(x, y) existe en x. On note ∂f ∂x : R × R → R (x, y) 7→ f ′ y(x, y). Pour calculer ∂f ∂x, on dérive f par rapport à la variable x en considérant y comme un nombre constant. On dit que f admet une dérivée première par rapport à y en (x, y) si, la dérivée de la fonction fx : R → R y 7→ f(x, y) existe en y. On note ∂f ∂y : R × R → R (x, y) 7→ f ′ x(x, y). Pour calculer ∂f ∂y , on dérive f par rapport à la variable y en considérant x comme un nombre constant. Exemple Soit f : R × R → R (x, y) 7→ x2√y + y. On a D(f) = {(x, y) ∈R × R: y ≥0} . Si y est constant, la dérivée de x2√y + y par rapport à x est 2x√y donc ∂f ∂x(x, y) = 2x√y. La fonction f admet une dérivée partielle par rapport à x sur D(f). Si x est constant, la dérivée de x2√y + y par rapport à y est x2 1 2√y + 1 donc ∂f ∂y (x, y) = x2 1 2√y + 1. La fonction f admet une dérivée partielle par rapport à x sur {(x, y) ∈R × R: y > 0} ̸= D(f). 3.2 Dérivées partielles deuxièmes des fonctions à deux variables Les dérivées partielles premières étant des fonctions de deux variables, on peut éventuellement les dériver de nouveau par rapport à la première ou deuxième variable. On note ∂2f ∂x2 = ∂ ∂x ∂f ∂x  la dérivée partielle première par rapport à x de la dérivée partielle première par rapport à x de f. On l’appelle dérivée partielle deuxième de f par rapport à x. On note ∂2f ∂x∂y = ∂ ∂x ∂f ∂y  la dérivée partielle première par rapport à x de la dérivée partielle première par rapport à y de f. On l’appelle dérivée partielle deuxième de f par rapport à (x, y). On note ∂2f ∂y∂x = ∂ ∂y ∂f ∂x  la dérivée partielle première par rapport à y de la dérivée partielle première par rapport à x de f. On l’appelle dérivée partielle deuxième de f par rapport à (y, x). On note ∂2f ∂y2 = ∂ ∂y ∂f ∂y  la dérivée partielle première par rapport à y de la dérivée partielle première par rapport à y de f. On l’appelle dérivée partielle deuxième de f par rapport à y. 3.3 Dérivées partielles premières des fonctions à trois variables Soit f : R × R × R → R (x, y, z) 7→ f(x, y, z) une fonction à 3 variables. On dit que f admet une dérivée première par rapport à x en (x, y, z) si, la dérivée de la fonction fy,z : R → R x 7→ f(x, y, z) existe en x. On note ∂f ∂x : R × R × R → R (x, y, z) 7→ f ′ y,z(x, y, z). Pour calculer ∂f ∂x, on dérive f par rapport à la variable x en considérant y et z comme des nombres constants. De même ∂f ∂y est la fonction de trois variables obtenue en dérivant f par rapport à y après avoir supposé x et z constants. De même ∂f ∂z est la fonction de trois variables uploads/s1/ fon-ctions-23-vari-mp.pdf

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• Publié le Jul 18, 2021
• Catégorie Administration
• Langue French
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