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Arithmétique / Cours méthode / 2BacSM Page 1 / 2 Site : ammarimaths crée par El

Arithmétique / Cours méthode / 2BacSM Page 1 / 2 Site : ammarimaths crée par El Ammari Si Med Inspecteur principal de maths Citation : « La mathématique est la rêne de la science et l’Arithmétique est la rêne des mathématique » Contact : ammari1042@hotmail.fr / Tel :037 600 015 / http://ammarimaths-bm.site.voila.fr/ I. Division euclidienne/ divisibilité /congruence ammarimaths-bm Division euclidienne Quels que soit le nombre entier relatif a, quel que soit l’entier naturel non nul b, il existe deux entiers uniques q et r tels que : b r 0 et r b.q p ≤ + = a Divisibilité a et b sont deux entiers relatifs, on dit que b divise a (a est multiple de b) si et seulement si, il existe un entier k tel que : b.q = a congruence n est un entier naturel non nul donné. a et b sont deux entiers relatifs. On dit que a est congrus à b modulo n si et seulement si, il existe k dans Z tel que : a – b = k.n On écrit : a≡b[modulo] II. Propriétés de la divisibilité et de la congruence ammarimaths-bm Divisibilité ( ) ( ) b a b Z b a / / a .b .a / ; ) ) , ( ( /b et /a /a b et /b a n 2 ⇒ + ∈ ∀ ⇒ = ⇒ β α δ β α δ δ congruence [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ⎩ ⎨ ⎧ ≡ + ≡ + ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ ≡ ≡ ⇔ = − ⇔ ≡ n d b c a n d b c a n d c n b a n n k b a n b a . . b - /a . III. PGDC et PPMC ammarimaths-bm Plus grand diviseur commun b a b a pgdc on ∧ = = ) , ( d : note le Le pgcd vérifie les propriétés suivantes : ( ) b a / d / / 1 b' a' et ' . ' . ; ) Z ) b' , (a' ( b a d ' ' ' 2 ∧ ⇒ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ∧ ⎩ ⎨ ⎧ = = ∈ ∃ ⇔ ∧ = b d a d b d b a d a Plus petit multiple commun b a b a ppmc on ∨ = = ) , ( m : note le Le ppmc vérifie les propriétés suivantes : ( ) b/c a / / / / b a m ∧ ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ ⎩ ⎨ ⎧ ⇒ ∨ = c b c a m b m a Propriété commune b a b a b a Z b a . ) ).( ( ; ) , ( 2 = ∧ ∨ ∈ ∀ IV. Nombres premiers entre eux / Bezzout / Gauss/Propriétés ammarimaths-bm Nombres premiers entre eux On dit que les entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement si pgcd (a,b)=1. Identité de Bezzout ( ) 1) b.v a.u ; Z v) (u, ( 1 b a 2 = + ∈ ∃ ⇔ = ∧ : Conséquence ( ) b) b.v a.u ; Z v) (u, ( d b a 2 = + ∈ ∃ ⇔ = ∧ Théorème de Gauss : ( ) b) / ( 1 a c et a.b / c c ⇒ = ∧ Autres propriétés : ( ) ( ) ( ) ( ) ) b (a b r 0 et r b.q 1) b ( ; xIN IN n) (m, 1 b a 1 b.c) ( 1 c a et 1 b a c) / .b ( 1 b a et c / b et c / n * * b r a a a a a m ∧ = ∧ ⇒ ≤ + = = ∧ ∈ ∀ ⇔ = ∧ = ∧ ⇒ = ∧ = ∧ ⇒ = ∧ p IV. Nombres premiers / Propriétés ammarimaths-bm Un nombre entier est premier s’il a exactement deux diviseurs positifs : 2, 3, 5 ,7 etc.… 1 et -1 ne sont pas premiers… L’ensemble des nombres premiers est infini. Propriétés : soit p premier on a : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 a pas divise ne et a / ) / ( ; n) (1,2,..., i ...a .a /a ) a / (p a / p b) / p ou a / (p a.b / p n 2 1 n = ∧ ⇒ = ∧ ⇒ ∈ ∃ ⇔ ⇒ ⇒ a p p p a p p a p p i Arithmétique / Cours méthode / 2BacSM Page 2 / 2 Site : ammarimaths crée par El Ammari Si Med Inspecteur principal de maths Citation : « La mathématique est la rêne de la science et l’Arithmétique est la rêne des mathématique » Contact : ammari1042@hotmail.fr / Tel :037 600 015 / http://ammarimaths-bm.site.voila.fr/ I. Algorithme d’Euclide ammarimaths-bm Soient deux entiers naturels a et b tels que a > b : On divise a (le plus grand) par b, on obtient : b r p 0 0 0 r 0 et b.q a : ) 1 ( ≤ + = Si r0=0 alors b divise a et pgcd(a,b)=b Si r0#0 On divise b par r0 , on obtient : b r r r p p 0 1 1 1 0 r 0 et .q b : ) 2 ( ≤ + = Si r1=0 alors pgcd(a,b)=pgcd(b,r0)=r0 Si r1#0 On divise r0 par r1 , on obtient : etc Après un certains nombre d’opération, on obtient un reste nul ( en effet la suite des restes est une suite décroissante de nombres entiers), soit rn, le dernier reste non nul de cette suite, on alors : pgcd(a,b)=pgcd(b,r0)=…= pgcd(rn-1 , rn)=rn II. Décomposition d’un entier en un produit de facteurs premiers ammarimaths-bm Tout nombre entier naturel non nul et différent de 1 , se décompose d’une manière unique sous la forme : n n p p p n α α α ... . 2 1 2 1 = Où les nombres pi sont des nombres premiers et les αi sont des entiers naturels non nuls. III. L’ensemble des classes d’équivalence Z/n.Z ammarimaths-bm La relation de congruence : [ ] b - /a . n n k b a n b a ⇔ = − ⇔ ≡ Est une relation d’équivalence dans Z, compatible avec la somme et le produit: [ ] [ ] [ ] [ ] ⎩ ⎨ ⎧ ≡ + ≡ + ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ ≡ ≡ n d b c a n d b c a n d c n b a . . La classe d’équivalence d’un entier relatif x est l’ensemble défini par : [ ] { } n modulo x y / x ≡ ∈ = = Z y α L’ensemble qui contient toutes les classes d’équivalence modulo n est noté : Z/n.Z { } 1 - n , 2 - n , ...... , 3 , 2 , 1 , 0 . / = Z n Z Dans Z/n.Z, on définit la somme etr le produit des classes, de la façon suivante : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≡ + ≡ + . . b a b a b a b a (Z/n.Z , + , x ) est un anneau commutatif unitaire, en général non intègre. Si n est premier, alors Z/n.Z est un corps. ( ) 1) n ( Z/n.Z dans inversible a = ∧ ⇔ a IV. La numération ammarimaths-bm Soit x un entier nature supérieur ou égal à 2. Tout entier b de In peut s’écrire sous la forme : . .... . . 0 1 1 1 a x a x a x a b n n n n + + + + = − − Où [ ] [ ] 1 - n 0, ; ) n 0, i ( et 0 ∈ ∈ ∀ ≠ i n a a On écrit : .... : ) 1 ( (x) 0 1 1 a a a a b n n − = Et on dit que l’écriture (1) est l’écriture du nombre b dans le système de numération de base x . IV. Détermination du pgdc(a,b) et du ppmc(a,b) ammarimaths-bm Soient : et 1 1 ∏ ∏ = = = = n i i n i i i i p b p a β α La décomposition en facteurs premiers de a et b, on obtient : 1 ) , inf( ∏ = = ∧ n i i iç i p b a β α ∏ = = ∨ n i i iç i p b 1 ) , sup( a β α uploads/s3/ arithmetique.pdf