MP 2017-2018 Parc des loges Corrigé du devoir surveillé n◦6 B I. Détermination

MP 2017-2018 Parc des loges Corrigé du devoir surveillé n◦6 B I. Détermination de la vitesse d'une onde de choc III.1.1 Comme l'interféromètre de Michelson , l'interféromètre sépare un rayon incident (division d'ampli- tude) en deux rayons cohérents qui suivent des chemins optiques diérents via deux miroirs et interfèrent en sortie. III.1.2 Si les chemins optiques sont égaux, les interférences sont constructives et on observe un éclairement uniforme et maximal (tente plate analogue au contact optique ; voir TP). III.1.3 Si le miroir est tourné d'un angle α, l'angle d'incidence passe de i à i+α. C'est la même chose pour l'angle d'émergence. Au nal la déviation qui était de 2i est alors de 2(i + α) donc les rayons sortant de M2 sont déviés d'un angle 2α. Ils sortent donc de S2 en faisant un angle 2α et on peut représenter les surfaces d'onde perpendiculaires aux rayons d'après le théorème de Malus. 2α S2 − → k 1 − → k 1 III.2.1 − → k 1.− → r = 2π λ x et − → k 2.− → r = 2π λ (cos 2αx + sin 2αy) III.2.2 I(M) = ⟨E⟩2 = 2E2 0 ( 1 + cos(− → k 2 −− → k 1).− → r ) d'où I(M) = 2E2 0 ( 1 + cos (4παy λ )) III.2.3 L'intensité lumineuse est maximale pour 4παy λ = 2πp et l'interfrange est i = λ 2α On observe dans le plan y, z des franges rectilignes : z y i 1 Devoir surveillé n◦6 III.3 La phase est augmentée avec l'étalon de 2π λ δ = 2πcτ λ . d'où I(M) = 2E2 0 ( 1 + cos (4παy λ ) + 2πcτ λ ) La frange centrale est donc translatée de −cτ 2α ainsi que l'ensemble des franges. III.4.1 Le déphasage est maintenant φ = 2ωd c αy + ωd c δ = 2ωd c αy + ω0 c δ + 2ω0δV(t) c . En négligeant la variation de i, on a φ = 2πy i + ω0τ + 2ω0τ V0 c soit I = E2 0 ( 1 + cos ( 2πy i + ω0τ + Φ(V0) )) avec Φ(V0) = 2ω0τ V0 c = 2π λ0 2V0τ III.4.2 On pose F = 2V0τ λ0 et I = E2 0 ( 1 + cos ( 2π(y i + 2π) + ω0τ )) F représente le décalage en nombre des franges lorsque l'eet de l'onde de choc survient. III.5.1 On voit 6 franges sur 300 µm donc i = 50µm. III.5.2 En supposant F < 1, V0 = λ0 2τ F donne SV = V0 F = λ0 2τ III.5.3 Application numérique : δ = 4, 76mm et τ = δ c = 15, 9µs d'où SV = 1, 67.104 m.s−1 Avec F ≈0, 5, il vient V0 ≈8000m.s−1. III.6 La méthode ne fonctionne que pour F < 1 donc V0 n'est connu qu'à un nombre entier de fois SV. Avec deux dispositifs VISAR V0 = SV1F1 = SV2F2 l'ambiguité peut être levée. II 1. Le contraste s'annule pour ∆p = 1 2 + k où ∆p est l'écart entre les ordres d'interférence des 2 étoiles. ∆p = ∆αd λ0 donc en modi ant d pour que le contraste s'annule on peut déetrminer ∆α. 2. ∆α = λ0 2d = 0, 83.10−6rad = 20“ III. Interféromètre de Michelson 2 MP 2017-2018 Parc des loges 2.1.1 Il y a localisation des franges lorsque la source est étendue et lorsque l'interféromètre est à divi- sion d'amplitude. Les fentes d'Young, les miroirs de Fresnel sont des dispositifs à division du front d'onde. L'interféromètre de Michelson est à division d'amplitude. 2.2.2 La longueur de cohérence temporelle d'une source est la diérence de marche maximale acceptable pour laquelle les franges apparaissent su sament contrastées. Pour observer des franges d'interférences on doit donc se limiter à des diérences de marche inférieures à ℓC. 2.2.1 Il sut de placer un ltre interférentiel à la sortie de la source. 2.2.2 a) On est au contact optique. Il n'y a pas d'interférence et l'éclairement est uniforme. b) On diaphragme la lentille a n de se placer dans les conditions de Gauss. Dans le cas contraire, des diérences de marche apparaîtraient puisque les lentilles ne sont pas rigoureusement stigmatiques. 2.2.3.1 L'analogie avec la lame d'aire a été vue en cours. Les rayons interfèrent en x = f ′i. Il faut refaire la démonstration et rouver que δ = 2e cos i et p = 2e cos i λ . L'éclairement est alors E = 2E0 ( 1 + cos (4πe cos i λ )) L'ordre est maximal pour i = 0 c'est-à-dire au centre des anneaux. 2.2.3.2 Les franges sont localisées à l'in ni. 2.2.3.3 L'ordre d'interférence maximal est pmax = 2e λ = 4028, 5. L'ordre correspondant au premier anneau est donc p1 = 4028 soit i1 = Arccos (p1λ 2e ) = 0, 0168 = r1 f ′ soit un rayon r1 = 16, 8 mm De même pour le deuxième anneau, p2 = 4027. d'où r2 = f ′ Arccos (p2λ 2e ) = 27, 9 mm Pour le troisième anneau, p3 = 4026. d'où r3 = f ′ Arccos (p2λ 2e ) = 35, 6 mm Le rayon augmente de moins en moins vite (approximativement comme √n). 2.2.3.4 La lame modi e la diérence de marche de δ = 2(n −1)e = 9, 7223.10−6 m d'où ∆p = δ λ = 17, 8 2.2.4.1 L'équivalence avec un coin d'air a été vue en cours. 2.2.4.2 Il su t de placer la source dans le plan focal objet d'une lentille convergente. 2.2.4.3 Les franges sont localisées sur le coin d'air. 3 Devoir surveillé n◦6 2.2.4.4 La formule de conjugaison donne : 1 OA′ − 1 OA = 1 f ′ d'où OA′ = 1 1 OA + 1 f ′ = 1 m On a pris OA = −0, 25 m (il semble y avoir une erreur dans l'énoncé). L'écran est alors à 1 m de la lentille et le grandissement est |γ| = OA′ OA = 4 En réalité le grandissement est -4, bien sûr mais on gardera 4 dans la suite. 2.2.4.5 Les franges sont des segments de droites et, comme on l'a montré en cours, i = γ λ 2α d'où α = γλ 2i = 2, 9.10−4 rad 2.2.4.6 Sur l'arrête du coin d'air, e = 0 et les interférences sont constructives : on observe une frange brillante blanche. La longueur de cohérence de la lumière blanche est très faible (≈3µm ) et seules quelques franges sont visibles. L'interfrange dépend de la longueur d'onde et les franges sont donc colorées. Si on augmente α la diérence de marche augmente et on voit encore moins de franges. 2.2.5.1 On pose σ1 = 1 λ1 et σ2 = 1 λ2 puis σ0 = σ1 + σ2 2 et ∆σ = σ1 −σ2 a n de revenir aux notations du cours (c'est plus prudent). On obtient alors en suivant le cours E(δ) = 4B0(1 + cos(π∆σδ) cos 2πσ0δ) On trace E(δ) a n d'expliquer le phénomène des anticoïncidences. d = δ/2 = 0, 15mm correspond à la première anticoïncidence. 2.2.5.2 La première anticoïncidence est obtenue pour δ = 1 2∆σ soit ∆σ = 1/4d = 1667m−1. On trouve donc ∆λ = ∆σλ2 1 = 0, 6 nm et λ2 = 589, 6 nm 4 uploads/s3/ corrige-devoir-10-3-pdf.pdf

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