Facult´ e de Technologie D´ epartement de G´ enie M´ ecanique L2 (GM) Ann´ ee u

Facult´ e de Technologie D´ epartement de G´ enie M´ ecanique L2 (GM) Ann´ ee universitaire 2021-2022 Mars Corrig´ e Devoir maison n◦04 de Maths 3 −Int´ egrales Triples − Exercice 1 – 1. Calculer l’int´ egrale triple Z Z Z V exdxdydz o` u V = {(x, y, z) ∈R3| 0 ≤y ≤1, 0 ≤x ≤y, 0 ≤z ≤x + y}. On a Z Z Z V exdxdydz = Z 1 0 Z y 0 Z x+y 0 exdz  dx  dy = Z 1 0 Z y 0  exz z=x+y z=0 dx ! dy = Z 1 0 Z y 0 (x + y)exdx  dy = Z 1 0 Z y 0 (x + y)exdx  dy = Z 1 0  ((x + y)ex −ex) x=y x=0 dy = Z 1 0  (x + y −1)ex x=y x=0 dy = Z 1 0 (2y −1)ey + (1 −y)dy = Z 1 0 (2y −1)eydy + Z 1 0 (1 −y)dy =  (2y −1)ey −2ey y=1 y=0 +  (y −y2 2 ) y=1 y=0 =  (2y −3)ey y=1 y=0 +  (y −y2 2 ) y=1 y=0 = 7 2 −e. 2. Calculer l’int´ egrale triple Z Z Z V (x + y + z)2dxdydz o` u V = {(x, y, z) ∈R3| x ≥0, y ≥0, z ≥0, x + y + z ≤1}. Dans cette situation, le calcul peut se faire de deux mani` eres diff´ erentes : Soit en utilisant la Forme 1 ou bien en utilisant la Forme 2. Page 1/2 M.S. M’hamdi – Utilisons la Forme 1. L’id´ ee est d’´ ecrire V sous cette forme : V =  (x, y, z) ∈R3| x ≥0, y ≥0, z ≥0 et x + y + z ≤1 =  (x, y, z) ∈R3| x ≥0, y ≥0, z ≥0 et z ≤1 −x −y =  (x, y, z) ∈R3| x ≥0, y ≥0 et 0 ≤z ≤1 −x −y et 0 ≤1 −x −y =  (x, y, z) ∈R3| x ≥0, y ≥0 et 0 ≤z ≤1 −x −y et y ≤1 −x =  (x, y, z) ∈R3| x ≥0 et 0 ≤z ≤1 −x −y et 0 ≤y ≤1 −x =  (x, y, z) ∈R3| x ≥0 et 0 ≤z ≤1 −x −y et 0 ≤y ≤1 −x et 0 ≤1 −x =  (x, y, z) ∈R3| x ≥0 et 0 ≤z ≤1 −x −y et 0 ≤y ≤1 −x et x ≤1 =  (x, y, z) ∈R3| 0 ≤x ≤1, 0 ≤y ≤1 −x et 0 ≤z ≤1 −x −y . Dans ce cas, notre int´ egrale s’´ ecrit Z Z Z V (x + y + z)2dxdydz = Z Z D Z 1−x−y 0 (x + y + z)2dz  dxdy, avec, D =  (x, y) ∈R2|0 ≤x ≤1, 0 ≤y ≤1 −x . Le calcul final donne le r´ esultat suivant : Z Z D Z 1−x−y 0 (x + y + z)2dz  dxdy = Z Z D 1 3(x + y + z)3 z=1−x−y z=0 dxdy = Z Z D (1 3 −(x + y)3 3 )dxdy = Z 1 0 Z 1−x 0 (1 3 −(x + y)3 3 )dy  dx = Z 4 0  (y 3 −(x + y)4 12 ) y=1−x y=0 dx = Z 4 0 ((1 −x) 3 −1 12) −(0 −x4 12)dx = Z 4 0 ((1 −x) 3 −1 12 + x4 12)dx =  (x 3 −x2 6 −x 12 + x5 60) x=1 x=0 = ( 1 10). Page 2/2 M.S. M’hamdi uploads/s3/ corrige-devoir-n04.pdf

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Administrationforme egrale calculer l’int´ triple
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