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http://xmaths.free.fr TS − Lois de probabilité à densité page 1 / 12 LOIS DE PR

http://xmaths.free.fr TS − Lois de probabilité à densité page 1 / 12 LOIS DE PROBABILITÉ À DENSITÉ Remarque Une expérience aléatoire consiste à choisir au hasard un nombre réel X dans l'intervalle I = ]0 ; 10]. L'univers est l'intervalle I. C'est un univers infini. On ne peut pas utiliser les probabilités vues jusqu'à présent et qui s'appliquaient à un univers fini. En effet, puisqu'il y a une infinité de nombres dans l'intervalle I, la probabilité de chacun de ces nombres est nulle et les raisonnements que l'on faisait en additionnant des probabilités d'éventualités ne sont plus applicables. Il faudra dans ce cas raisonner sur des probabilités d'intervalles. Exercice 01 (voir réponses et correction) On considère l'intervalle I = ]0 ; 10] et on s'intéresse à l'expérience consistant à choisir de façon aléatoire un nombre réel dans cet intervalle. 1°) On coupe l'intervalle I en 10 intervalles de même amplitude : ]0 ; 1] ; ]1 ; 2] ; ]2 ; 3] ; ]3 ; 4] ; ]4 ; 5] ; ]5 ; 6] ; ]6 ; 7] ; ]7 ; 8] ; ]8 ; 9] ; ]9 ; 10] On considère l'univers Ω que l'on obtient en prenant la borne supérieure de chaque intervalle et on choisit la probabilité uniforme sur Ω. On a Ω = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 } et chaque éventualité de Ω a une probabilité de 1 10 . On choisit de façon aléatoire un nombre réel X dans Ω. Justifier que la probabilité de l'événement « X est inférieur ou égal à π », notée p(X £ π), est égale à 3 10 . 2°) On coupe l'intervalle I en 100 intervalles de même amplitude : ]0 ; 0,1] ; ]0,1 ; 0,2] ; ]0,2 ; 0,3] ; …… ; ]9,8 ; 9,9] ; ]9,9 ; 10] On considère l'univers Ω = { 0,1 ; 0,2 ; 0,3 ; … ; 9,8 ; 9,9 ; 10 } et la probabilité uniforme sur Ω. On choisit de façon aléatoire un nombre réel X dans Ω. Déterminer p(X £ π). 3°) Même question que précédemment en coupant l'intervalle I en 1 000 intervalles de même amplitude, puis en 10 000 intervalles de même amplitude. (On ne demande pas de justification) 4°) Si on choisit de façon aléatoire un nombre réel X dans l'intervalle I, conjecturer la valeur de p(X £ π). Conjecturer les valeurs de p(X £ 4) ; p(X > 1) ; p(1 < X £ 4) ; p(u < X £ v) avec u ∈ I ; v ∈ I et u < v . 5°) On considère la fonction f définie sur l'intervalle I par f(x) = 1 10 . a) Tracer la courbe (C) représentant la fonction f. b) Déterminer l'aire A1 de la partie du plan comprise entre l'axe (Ox), la courbe (C) et les droites d'équations x = 1 et x = 4. c) Déterminer l'aire A2 de la partie du plan comprise entre l'axe (Ox), la courbe (C) et les droites d'équations x = u et x = v ; où u et v sont deux réels de I tels que u £ v . Exercice 02 (voir réponses et correction) 1°) Créer un algorithme permettant d'obtenir de façon aléatoire un nombre réel X compris entre 0 et 10. 2°) Avec une boucle répétant 100 000 fois l'action précédente, évaluer la fréquence avec laquelle on a X £ π . 3°) Modifier l'algorithme de façon à évaluer, en fonction de deux réels u et v compris entre 0 et 10, la fréquence avec laquelle on a : u < X £ v . 4°) Les résultats trouvés sont-ils en accord avec les résultats obtenus dans l'exercice 1 ? Remarques ● Un segment d'une certaine longueur est constitué d'une infinité de points ayant chacun une longueur nulle. ● L'aire d'une partie du plan peut-être calculée en utilisant une intégrale. Pourtant cette partie du plan est constituée d'une infinité de segments ayant chacun une aire nulle. ● De la même façon on peut définir une loi de probabilité sur un intervalle [a ; b], en utilisant une intégrale. Et ceci même si chaque nombre de [a ; b] a une probabilité nulle. La fonction que l'on intègrera sera appelée fonction de densité de la loi probabilité. http://xmaths.free.fr TS − Lois de probabilité à densité page 2 / 12 Définition Soit X une variable aléatoire prenant ses valeurs dans un intervalle [a ; b]. On dit que X suit la loi uniforme sur [a ; b] lorsque pour tout u ∈ [a ; b] et tout v ∈ [a ; b] tels que u £ v on a p(u £ X £ v) = ⌡ ⌠ u v 1 b - a dx c'est-à-dire que p(u £ X £ v) est égale à l'aire, en unités d'aire, de l'ensemble des points M(x ; y) du plan tels que    u £ x £ v 0 £ y £ f(x) où la fonction f est définie sur [a ; b] par f(x) = 1 b - a Cette fonction f définie par f(x) = 1 b - a est appelée fonction de densité de la loi uniforme sur [a ; b]. Remarques ● Dans le cas d'une loi uniforme, l'ensemble des points M(x ; y) du plan tels que    u £ x £ v 0 £ y £ f(x) est un rectangle et on a de façon évidente p(u £ X £ v) = (v - u) x 1 b - a = v - u b - a . ● La valeur 1 b - a a été choisie de telle façon que p(a £ X £ b) = 1 . ● On pourra utiliser la notation p(u £ X £ v) = p([u ; v]). ● On a p(X = u) = 0 et p(X = v) = 0, donc p([u ; v]) = p(]u ; v]) = p([u ; v[) = p(]u ; v[) . ● Il est parfois utile que la fonction de densité de la loi uniforme sur [a ; b] soit définie sur IR. Dans ce cas, on prendra f(x) = 1 b - a pour x ∈ [a ; b] et f(x) = 0 pour x ∉ [a ; b]. Exercice 03 (voir réponses et correction) Une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur [-1 ; 1]. Déterminer : p(X £ 0,3) ; p    - 1 2 £ X £ 1 2 ; p(X > 0,3) ; p    X ∈     1 4 ; 3 4 [ ] ; p    X ∉     1 6 ; 1 2 Exercice 04 (voir réponses et correction) On choisit un nombre réel α au hasard dans [0 ; 1]. Quelle est la probabilité que, dans l'écriture décimale de α, le premier nombre après la virgule soit un 3 ? Quelle est la probabilité que, dans l'écriture décimale de α, le premier nombre après la virgule soit pair ? Exercice 05 (voir réponses et correction) On choisit un nombre réel α au hasard dans [0 ; 1]. Sachant que ce nombre α est supérieur à 0,6 quelle est la probabilité pour qu'il soit inférieur à 0,95 ? Sachant que ce nombre α est supérieur à 0,963 quelle est la probabilité pour que dans l'écriture décimale de α, le deuxième chiffre après la virgule soit multiple de 3 ? Exercice 06 (voir réponses et correction) On considère l'intervalle I = ]0 ; 10]. 1°) On coupe l'intervalle I en 10 intervalles de même amplitude : ]0 ; 1] ; ]1 ; 2] ; ]2 ; 3] ; ]3 ; 4] ; ]4 ; 5] ; ]5 ; 6] ; ]6 ; 7] ; ]7 ; 8] ; ]8 ; 9] ; ]9 ; 10] On considère l'univers Ω = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 } et la probabilité uniforme sur Ω. On choisit de façon aléatoire un nombre X dans Ω. Déterminer l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X. 2°) On coupe l'intervalle I en 100 intervalles de même amplitude : ]0 ; 0,1] ; ]0,1 ; 0,2] ; ]0,2 ; 0,3] ; …… ; ]9,8 ; 9,9] ; ]9,9 ; 10] On considère l'univers Ω = { 0,1 ; 0,2 ; 0,3 ; … ; 9,8 ; 9,9 ; 10 } et la probabilité uniforme sur Ω. On choisit de façon aléatoire un nombre X dans Ω. Déterminer l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X. 3°) Même question que précédemment en coupant l'intervalle I en 1 000 intervalles de même amplitude, puis en 10 000 intervalles de même amplitude. (On ne demande pas de justification) 4°) Si on choisit de façon aléatoire un nombre X dans uploads/s3/ cours 5 .pdf