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Page 1 sur 2 1 LS El Alia DEVOIR DE CONTROLE N°1 AS : 2016/2017 Prof: Tlich Ahm

Page 1 sur 2 1 LS El Alia DEVOIR DE CONTROLE N°1 AS : 2016/2017 Prof: Tlich Ahmed (Bac science) Durée: 2h Exercice n°1 : 7 2 3 6 2(1 ) 4 0 i i z i e z e π π − + + = ( 7 points) On considère dans C l’équation (E) : 1) a) Vérifier que 0 3 2 i z e π = est une solution de (E). b) Déduire l’autre solution de (E). 2) Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O, v u, ). On considère les points A, B et C d’affixes respectifs : 3 2 A i Z e π = , 12 2 2 i B Z e π = et 6 5 2 C i Z e π = a) Construire les points A et C. b) Vérifier que C A Z i Z = puis déduire la nature du triangle OAC. c) Ecrire (1-i) sous forme exponentielle puis déduire que : (1 ) A B i Z Z − = d) Montrer que OBAC est un parallélogramme puis construire le point B. 3) a) Ecrire ZB 12 Cos π sous forme algébrique. b) Déduire les valeurs de et 12 Sin π 4) Construire le cercle (C) de centre O et de rayon 2 2 .La perpendiculaire à (OB) passant par O coupe le cercle (C) en un point D d’affixe ZD dont sa partie imaginaire est positive. a) Justifier que ZD = i ZB. b) Montrer que OAD C est un carré. Exercice n°2 : ]0, [ +∞ ( 7 points) Soit la fonction définie sur par 2 2 2 1 0 1 ( ) 1 0 1 x si x x f x xCosx si x x  − ≥   + =   −  +   1) Montrer que f est continue en 0. 2) a) Montrer que pour tout x ] ,0[ ∈−∞ on a : 2 2 1 ( ) 1 1 1 x x f x x x − −≤ ≤ − + + b) Déduire ( ) lim x f x →→−∞ . 3) a) Monter que (x) 1 lim x f →→+∞ = b) Calculer ces limites : 1 2 ( ) 1 lim x x f x + →→ − − 2 ( ) 1 lim x x f x →→+∞ + 2 (x 1) lim x f →→−∞ + Page 2 sur 2 2 4) On suppose que f est strictement croissante sur[ [ 0,+∞. a) Montrer l’équation f(x) =0 admet dans [0, [ +∞ une unique solution α dans [ [ 0,+∞ puis vérifier que : 0,57 < α < 0,58 b) Déduire le tableau de signe de f(x) sur [0, [ +∞ c) Montrer que α vérifie 2 1 2 α α + = 5) On considère les deux fonctions g et h définie sur [0, [ +∞ par g(x) = 2 1 x + et h(x) =2x. a) Vérifier que pour tout [0, [ x∈ +∞ : h( ) (x) ( ) ( ) x g f x g x − = b) Etudier la position relative des courbes des fonctions g et h sur[0, [ +∞. Exercice n°3 : ( ) n U ( 6 points) Soit la suite définie sur IN par : 0 2 U = et 1 2 2 n n n U U U + = + 1) a) Montrer que pour tout n on a : 0 2 n U ≤ ≤ . b) Montrer que ( ) n U est décroissante. c) Déduire que ( ) n U est convergente puis calculer sa limite. d) Montrer par récurrence que pour tout n on a : 2 1 n U n = + 2) Soit la suite ( ) n S définie sur IN par : 0 1 2 3 0 ( 1) ... ( 1) n K n n K n K S U U U U U U = = − = − + − + + − ∑ a) Montrer que : 2 2 2 2 2 2 1 n n n n S S U U + + + − = − puis déduire que la suite 2 ( ) n S est décroissante. b) Montrer que la suite 2 1 ( ) n S + est croissante. c) Montrer que pour tout n on a : 2 1 2 n n S S + ≤ d) Déduire que les suites 2 ( ) n S et 2 1 ( ) n S + sont adjacentes. e) Déduire que la suite ( ) n S converge vers un réel L puis vérifier que 1 2 L ≤ ≤ . Bon travail uploads/s3/ devoir-de-controle-n01-2016-2017-mr-tlich-ahmed.pdf