Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

AC EPL - SESSION 2009 CORRIGÉ Électrocinétique. 1. On peut envisager l'une des

AC EPL - SESSION 2009 CORRIGÉ Électrocinétique. 1. On peut envisager l'une des deux démarches suivantes. a) On est en présence d'un diviseur de tension constitué d'une résistance 1 2 1 2 R R R R R = + et d'une capacité 1 2 C C C = + . Sa fonction de transfert harmonique est donc : ( ) s R C e u 1 1 H j u 1 Z Y 1 jCR ω = = = + + ω On est en présence d'un filtre passe-bas du premier ordre fondamental. b) On observe que : ♦ en basse fréquence un condensateur parfait se comporte comme un interrupteur ouvert d'où s e u u = ; ♦ en haute fréquence un condensateur parfait se comporte comme un interrupteur fermé d'où s u 0 = . Le circuit se comporte donc comme un filtre passe-bas. Par ailleurs, les tensions d'entrée et de sortie sont liées par l'équation : ( ) ( ) ( ) s s e du t RC u t u t dt + = qui est une équation du premier ordre fondamental (pas de dérivée de ue par rapport au temps). On est donc en présence d'un filtre passe-bas du premier ordre fondamental. 2. La pulsation de coupure à 3dB − est : ( ) 1 2 c 1 2 1 2 R R 1 RC C C R R + ω = = + 3. On en déduit la fréquence de coupure à 3dB − : ( ) c 1 2 c 1 2 1 2 R R f 955Hz 2 2 C C R R ω + = = = π π + 4. On a, d'après la fonction de transfert, c tan ω φ = −ω . Ainsi, pour c 2 ω = ω , il vient : tan 2 63,4 φ = −⇒φ = − ° La tension de sortie présente un retard de phase par rapport à la tension d'entrée. 5. Pour c ω = ω la fonction de transfert s'écrit ( ) c 1 j H j 2 − ω = . Le résistor de résistance R1 est alors soumise à une tension instantanée ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c 1 e e 1 j u t 1 H j u t u t 2 + = − ω = et traversée par une intensité instantanée ( ) ( ) 1 1 1 u t i t R = . La puissance moyenne dissipée dans ce résistor est donc : ( ) ( ) { } ( ) 2 2 1 e,m 1 1 1 1 u t u 1 P e u t .i * t 2 2R 4R = ℜ = = 6. Le résistor R1 dissipe une énergie totale E pendant la durée τ telle que : 1 2 e,m 4R E E 1000s 16min 40s P u τ = = = = 2 EPL - SESSION 2009 AC Oscillateur masse/ressort massique. 7. Pas de question. On peut cependant, pour l'utiliser ensuite, étudier l'équilibre masse/ressort sans masse (m = 0). Nous avons : ( ) A,e 0 Mg k z L = − 8. La relation fondamentale de la dynamique appliquée à la masse ponctuelle M dans le référentiel lié au bâti fixe et supposé galiléen conduit, en projection selon Oz, à : ( ) 2 A A 0 2 d z M Mg k z L dt = − − Compte tenu de la condition d'équilibre il vient : ( ) 2 A A A,e 2 d z k z z 0 M dt + − = C'est l'équation différentielle du mouvement d'un oscillateur harmonique de période : 0 0 2 M T 2 k π = = π ω 9. Toujours dans l'hypothèse où m = 0, l'allongement du ressort à l'équilibre est : A,e 0 Mg L z L 19,6cm k ∆ = − = = C'est un ressort très souple. 10. On tient compte, maintenant, de la masse de ce ressort homogène. La tranche d'épaisseur dz, à l'abscisse z, présente une masse A m dm dz z = . Son énergie cinétique est donc : ( ) 2 r 2 2 k A 3 A 1 m z dE dm v z v dz 2 2 z = = 11. L'énergie cinétique totale du ressort est alors : A z 2 2 T 2 A k A 3 A 0 mv m z E v dz 2 6 z = = ⌠  ⌡ 12. Attention, il est nécessaire de tenir compte de l'énergie potentielle de pesanteur. On a alors : ( ) ( ) ( ) 2 2 p A 0 A,e 0 A A,e 1 m E k z L z L M g z z 2 2     = − − − − + −         si on prend comme état de référence la position d'équilibre du système. Dans cet état d'équilibre on a maintenant ( ) A,e 0 m M k z L 2 + = − , ce qui nous donne : ( ) 2 p A A,e 1 E k z z 2 = − La conservation de l'énergie mécanique du système masse/ressort massique se traduit par : ( ) 2 2 2 m A A A A,e 1 1 1 E mv Mv k z z Cte 6 2 2 = + + − = que l'on peut encore écrire sous la forme : ( ) ( ) 2 2 A A A,e dz k z z Cte dt M m / 3  + − =   +   C'est l'équation différentielle du mouvement d'un oscillateur harmonique de pulsation propre : PHYSIQUE - CORRIGÉ 3 AC k m M 3 ω = + On observe ainsi l'influence de la masse du ressort sur la période des oscillations. Remarque. Le développement que nous venons d'effectuer n'est valable que si l'on observe qu'un mode fondamental de vibration dans lequel le ressort a la forme qu'il aurait si on le déformait statiquement Électrostatique. 13. Toute rotation autour de l'axe de la sphère laisse la distribution de charge invariante donc ( ) E E r = J G J G où r est la distance du centre O de la sphère au point considéré. Tout plan passant par O est plan de symétrie pour la distribution de charge. Le champ électrostatique, vecteur vrai, appartient à ces plans, soit ( ) r E E r e = J G G . On applique le théorème de Gauss sur une surface sphérique Σ, de centre O et de rayon r, ce qui nous conduit à : ( ) ( ) ( ) 2 3 3 3 0 3 3 0 0 pour r R 4 4 r E r r R pour R r R 3 4 1 R pour r R 3   < α  π ρ  π = −α α < <  ε  π ρ −α >  ε   On en déduit l'expression du champ électrostatique dans la région (I) définie par r > R : ( ) ( ) 3 3 I r 2 0 1 R E r e 3 r −α ρ = ε J G G 14. Dans la région (II), définie par R r R α < < , on obtient : ( ) 3 3 II r 2 0 R E r r e 3 r   ρ α = −     ε   J G G Remarque. On peut considérer que la distribution proposée résulte de la superposition : ♦ d'une sphère pleine, de centre O, de rayon R, chargée en volume avec une densité uniforme ρ ce qui conduit respectivement à un champ électrostatique et à un potentiel électrostatique (continu en r = R et rlim V 0 + →+∞ = ) : ( ) 3 r 2 0 r 0 R e pour r R 3 r E r re pour r R 3 + ρ > ε  = ρ  < ε  G J G G ( ) 3 0 2 2 0 R pour r R 3 r V r r R pour r R 2 3 + ρ > ε  =    ρ  − <      ε    ♦ d'une sphère pleine, de centre O, de rayon R α ( ) 1 α < , chargée en volume avec une densité uniforme ( ) −ρ ce qui conduit respectivement à un champ électrostatique et à un potentiel électrostatique : ( ) 3 3 r 2 0 r 0 R e pour r R 3 r E r re pour r R 3 − −ρ α > α ε  = −ρ  < α ε  G J G G ( ) 3 3 0 2 uploads/s3/ epl-physique-2009-corrige.pdf