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LA CONJECTURE abc Autor(en): Nitaj, Abderrahmane Objekttyp: Article Zeitschrift

LA CONJECTURE abc Autor(en): Nitaj, Abderrahmane Objekttyp: Article Zeitschrift: L'Enseignement Mathématique Band(Jahr): 42(1996) Heft 1-2: L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE Persistenter Link: http://dx.doi.org/10.5169/seals-87869 Erstellt am: Jul 17, 2013 Nutzungsbedingungen Mit dem Zugriff auf den vorliegenden Inhalt gelten die Nutzungsbedingungen als akzeptiert. Die angebotenen Dokumente stehen für nicht-kommerzielle Zwecke in Lehre, Forschung und für die private Nutzung frei zur Verfügung. Einzelne Dateien oder Ausdrucke aus diesem Angebot können zusammen mit diesen Nutzungsbedingungen und unter deren Einhaltung weitergegeben werden. Die Speicherung von Teilen des elektronischen Angebots auf anderen Servern ist nur mit vorheriger schriftlicher Genehmigung möglich. Die Rechte für diese und andere Nutzungsarten der Inhalte liegen beim Herausgeber bzw. beim Verlag. Ein Dienst der ETH-Bibliothek Rämistrasse 101, 8092 Zürich, Schweiz retro@seals.ch http://retro.seals.ch LA CONJECTURE abc par Abderrahmane Nitaj 1 . Introduction En 1637, Pierre de Fermât écrivait dans la marge des œuvres de Diophante qu'il avait trouvé une belle démonstration du théorème suivant: Théorème 1.1. Pour tout entier n 3, les seules solutions entières (x, y, z) de l'équation sont telles que xyz = 0. Non seulement cette démonstration ne fut jamais retrouvée, mais jusqu'en 1995 personne n'a réussi à démontrer ce théorème dans sa généralité. Les travaux récents de A. Wiles viennent enfin d'y parvenir. Le théorème de Fermât se distingue donc particulièrement par la simplicité de son énoncé et par la difficulté de sa résolution. Il a illustré l'évolution de certaines branches des mathématiques (théorie des nombres, géométrie algébrique, ...). Pourtant, isolé, le théorème de Fermât n'a pas une grande importance. Il a repris de l'intérêt dès qu'on l'a relié à d'autres problèmes de mathé matiqueset notamment à la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil. La conjecture abc de J. Oesterlé et D. W. Masser est née dans ce contexte: rompre l'isolement du théorème de Fermât. Même si cette conjecture n'implique que la version asymptotique du théorème de Fermât, son importance en théorie des nombres est grande. Sa démonstration permet en effet de résoudre plusieurs autres problèmes ouverts. Le but de cet article est de donner une description de la conjecture abc (partie 2) et d'énumérer la plupart de ses conséquences (partie 3). La partie 4 est consacrée à l'étude de certaines méthodes permettant de tester numéri quementla conjecture abc et d'en prévoir une forme effective. Enfin, la partie 5 présente quelques généralisations possibles de la conjecture abc. 2. La conjecture abc Dans cette partie, nous allons rappeler la conjecture abc, ainsi que les quelques tentatives qui ont été faites pour essayer de la démontrer. La définition suivante est étroitement liée à la conjecture abc. Définition 2.1. Soit n un entier non nul. On appelle radical de n et on écrit r(n) le produit des facteurs premiers distincts divisant n, avec par convention r(\) = 1 Le radical est quelquefois appelé support, conducteur ou noyau et vérifie r{n) \n. Motivés par un théorème de Mason ([lo], [20]) sur les polynômes et par certaines conjectures de Szpiro [31], J. Oesterlé et D.W. Masser ont formulé en 1985 la conjecture suivante, plus connue sous le nom de conjecture abc [20]: Conjecture 2.2. {abc). Pour tout s>o, // existe une constante c(s) >0 telle que pour tout triplet (a, b, c) d'entiers positifs, vérifiant a+b=c et (a, b) = 1 on ait: Une première analyse de l'inégalité de la conjecture abc montre que si un triplet (a,b,c) d'entiers positifs vérifie a + b = c et (a, b) = 1, alors le produit abc est composé de nombres premiers distincts avec pour la plupart un exposant relativement petit. On peut constater ce fait dans les tables de factorisation de nombres de la forme a n - b n , données àla fin du livre de H. Riesel (voir [24], pp. 388-437). Pour s > 0 fixé, la constante c(s) qui lui correspond dans la conjec tureabc peut être unique, en prenant: (2.3) avec /= {(a, b, c) e N 3 , (a, b) =I,a+b= c}. Quant à la possibilité de prendre s = 0 dans la conjecture abc, la proposition suivante montre que ce choix n'est pas possible. Proposition 2.4. Pour s>o, soit c(z) la constante définie par (2.3) vérifiant l'inégalité de la conjecture abc. Alors Preuve. On définit les entiers x n et y n par la relation: Alors pour tout « 1, 1+ 2y 2n2 n = xx 2 n . Si n= 2 m , on vérifie facilement par récurrence que 2m2 m + l \y n . Appliquons la conjecture abc à la relation xx 2 n = 1 + 2j^. On obtient pour n = 2 m : Alors c(e) 2m2 m < 1 + E V** e et donc ce qui montre que lim c(s) =+ 00. s-> 0 Des démonstrations différentes de la proposition 2.4. se trouvent dans [10] et [20]. Depuis sa formulation en 1985, peu de résultats théoriques ont été découverts sur la conjecture abc. Il n'existe actuellement que deux théorèmes la concernant. Les démonstrations de ces deux théorèmes s'appuyent sur des méthodes utilisant des formes linéaires de logarithmes complexes et /?-adiques. Nous donnons ici ces deux théorèmes. Leurs démonstrations se trouvent dans [29] et [30] respectivement. Théorème 2.5. (Stewart, Tijdeman, 1986). // existe une constante effec tivementcalculable k>o telle que, pour tout triplet {a, b, c) d'entiers positifs, vérifiant a+b=c et (a,b) = 1 on ait: Théorème 2.6. (Stewart, Yu, 1990). // existe une constante effecti vementcalculable k>o telle que, pour tout triplet (a, b, c) d'entiers positifs, vérifiant a+b=c et (a, b) = 1 on ait: Remarquons que les inégalités des deux théorèmes ci-dessus sont expo nentiellesen r(abc), alors que l'inégalité de la conjecture abc est seulement polynomiale. 3. Applications de la conjecture abc Dans cette partie, nous décrivons la plupart des conséquences de la conjecture abc montrant ainsi son importance en théorie des nombres. 3.1. Les conjectures de Szpiro Les conjectures de Szpiro sont antérieures (1983) à la conjecture abc et certaines d'entre elles ont les mêmes conséquences. Nous donnons deux de ces conjectures. La conjecture suivante est une conséquence de la conjecture abc et a été très étudiée ([l3], [15], [17], [31]). Conjecture 3.1.1. (Szpiro, forme forte). Pour tout e>o, // existe une constante c(e) >0 telle que pour toute courbe elliptique semi stableE sur Q, de discriminant minimal AEA E et de conducteur NENE on ait: Le conducteur d'une courbe elliptique semi-stable est le radical de son dis criminantminimal. Pour une définition exacte du conducteur, on peut consulter [27]. La conjecture suivante est connue aussi sous le nom de conjecture de Lang-Szpiro. Conjecture 3.1.2. Pour tout s>o et pour tout couple (A,B) d'entiers premiers entre eux, il existe une constante c(z,A,B) >0 telle que pour tous les entiers u, u, k vérifiant {Au, Bu) = 1 et k= Au 3 + Bu 2 , on ait: Proposition 3.1.3. La conjecture abc est équivalente à la conjec ture3.1.2. Preuve. Admettons d'abord la conjecture abc. Soient A,B,u,v et k des entiers tels que (Au, Bu) =1 et k= Au 3 + Bu 2 . La conjecture abc donne : Supposons que |,4w 3 |^|£^ 2 | (le cas inverse se fait de la même manière), alors |u|< c 3 (A, B) \u | 2/3 . En reportant cette majoration dans l'inégalité ci-dessus, on obtient: et par suite: Prenons s tel que 1 - 5s > 0 et posons s' = 18e/(l - se), alors: On obtient alors pour | u \ : Ceci prouve la conjecture 3.1.2. Inversement, admettons la conjecture 3.1.2. Soient a, b et c des entiers positifs vérifiant a< b, a + b = c et (a, b) = 1 . Alors : Cette relation peut être éventuellement simplifiée par 333 3 si a =b (mod 3). En appliquant la conjecture 3.1.2, on obtient: et donc: et finalement Ceci prouve la conjecture abc. 3.2. Conséquences sur les triplets d'entiers Les propositions suivantes montrent l'influence de la conjecture abc sur l'architecture des triplets d'entiers. Proposition 3.2.1. Si la conjecture abc est vraie, alors pour tout s>o, // existe une constante c(e) telle que pour tout triplet (*i ,X 2,x 3 ) d'entiers positifs, vérifiant x x +x2=x3 et (jci , x 2 ) =1, «« des #,- , /e { 1 , 2, 3 } , vérifie: Cette proposition fait apparaître un lien entre la conjecture #&c et le théorème de Fermât. Nous avons aussi le résultat suivant: Théorème 3.2.2. Si la conjecture abc est vraie, alors pour tout s>o et tout entier a 1, // existe une constante Ci(e, a) >0 telle que pour tout entier n^2 et tout entier x^2 vérifiant (a, x) = 1 on ait: Preuve. Soit 8 fixé tel que o<B<l /2. Appliquons la conjecture abc à la relation (x n - a n ) +an =xn avec (a,x) =I.On obtient: Alors Si s est assez petit et si n 2, on a d'une part (« - \)/{n -1-s)<2 et d'autre part: avec s' = 2s /(l — s). On obtient finalement la conclusion du théorème. 3.3. Les nombres de Wieferich Un nombre premier p vérifiant la congruence avec a uploads/s3/ la-conjecture-abc.pdf