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Table des matières 1 Nombres Complexes 3 1.1 Le Corps C des complexes . . . . .

Table des matières 1 Nombres Complexes 3 1.1 Le Corps C des complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Ecriture algébrique et correspondance Géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1.1 La construction algébrique de C et correspondance géométrique . . . . . 3 1.1.1.2 Identiﬁcation de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1.3 L’Ecriture algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1.4 Complexe conjugué et Module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Exponentielle Complexe et Ecriture Trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.2.1 A propos de l’exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.2.2 Ecriture Trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.2.3 Retour à l’exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2 Equations à coeﬃcients complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.1 Racines n-ièmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.1.1 Racines carrées d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.1.2 Racines n-ièmes d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.1.3 Racines n-ièmes de l’unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.2 Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.2.1 Le Théorème fondamental de l’algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.2.2 Polynômes du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3 Le Point de vue Géométrique : Le Retour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.1 Quelques identités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.2 Quelques transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 2 TABLE DES MATIÈRES 2 Lycée J-B. Say - Martin Del Hierro Chapitre 1 Nombres Complexes 1.1 Le Corps C des complexes 1.1.1 Ecriture algébrique et correspondance Géométrique 1.1.1.1 La construction algébrique de C et correspondance géométrique Il y a plusieurs façons équivalentes de voir les nombres complexes : Une première façon consiste à les voir comme les points (ou vecteurs) du plan R2 euclidien. Ainsi le point M ∈R2 (ou de façon équivalente le vecteur − − → OM) est repéré par ses coordonnées (x; y) dans le repère (ou base) canonique. Notons (a, b) les éléments de ce nouvel ensemble noté C. Déﬁnition 1.1.1 Par la suite tout point M (resp. tout vecteur − − → OM) de R2 sera dit d’aﬃxe z ∈C avec la correspondance ci-dessous M(a; b) ⇐ ⇒z = (a, b) ³ resp. − − → OM(a; b) ⇐ ⇒z = (a, b) ´ On note M(z) (resp. − − → OM(z)). ♠ On déﬁnit alors sur C deux lois de composition interne1 : La Loi additive (x, y) + (x′, y′) = (x + x′, y + y′) La Loi multiplicative (x, y) × (x′, y′) = (xx′ −yy′, xy′ + x′y). Muni de cette nouvelle structure algébrique (C, +, ×) vériﬁe les propriétés suivantes : o) C est non vide : (0, 0) ∈C i) la loi + est associative : ∀(u, v, w) ∈C3; u + (v + w) = (u + v) + w ii) la loi + admet un élément neutre : ∀z ∈C, z + 0 = 0 + z = z avec 0 := (0, 0) iii) Tout élément de C admet un symétrique pour la loi + : ¡ ∀a ∈C, ∃z′ ∈C; z + z′ = z′ + z = 0 ¢ . il suﬃt de prendre z′ = (−x, −y) lorsque z = (x, y). On note z′ = −z iv) la loi + est commutative : ∀(u, v) ∈C2, u + v = v + u v) la loi × est associative vi) la loi × admet un élément neutre : il s’agit de 1 := (1, 0) vii) Tout élément non nul de C admet un symétrique pour la loi × : le symétrique de (x, y) est (x, y)−1 = ( x x2+y2 , − y x2+y2 ) on le note aussi 1 z viii) la loi × est distributive sur la loi + : ∀(u, v, w) ∈C3, u × (v + w) = (u × v) + (u × w) et (v + w) × u = (v × u) + (w × u) 1un loi de composition interne combine deux éléments d’un ensemble pour obtenir un élément du même ensemble 3 4 CHAPITRE 1. NOMBRES COMPLEXES ix) la loi × est commutative Déﬁnition 1.1.2 On résume les propriétés o) à iii) en disant que (C, +) est un groupe. On résume les propriétés o) à iv) en disant que (C, +) est un groupe abélien (ou encore commutatif). On résume les propriétés o) à viii) en disant que (C, +, ×) est un corps . On résume les propriétés o) à ix) en disant que (C, +, ×) est un corps commutatif. ♠ Exemple: (R, +, ×) est un corps commutatif et a fortiori (R, +) est un groupe abélien. De même (Q, +, ×) est un corps commutatif et (Z, +) est un groupe abélien. Mais (Z, +, ×) n’est pas un corps et (N, +) n’est pas un groupe. Exemple: Si on note C∗l’ensemble des complexes privé de l’élément nul 0, on a que (C∗, ×) est un groupe abélien. Il en va de même pour (R∗, ×) 1.1.1.2 Identiﬁcation de R A ne pas lire en première lecture : Comme R2 est un R-espace vectoriel2, C lui aussi hérite de la même structure. On peut donc déﬁnir un produit extérieur de R sur C : ∀λ ∈R ∀(x, y) ∈C, λ · (x, y) := (λx, λy) = (λ, 0) × (x, y) Il s’agit là de la multiplication classique d’un vecteur par un réel. Remarque 1.1.1 Puisque pour tout a, b, λ ∈R on a (a, 0) +C (b, 0) = (a +R b, 0) et λ ·C (a, 0) = (λ ·R a, 0) en identiﬁant R à R · 1 = {λ · 1; λ ∈R}, on peut aﬃrmer que R est un sous-espace vectoriel réel de C. Ceci implique que lors des manipulations et considérations vectorielles (loi de composition externe, addition de deux vec- teurs) on peut manipuler les les réels comme des complexes particuliers : R ⊂C et compatibilité des lois vectorielles. ∗ Pour tout λ ∈R et tout z ∈C, λ · z = (λ · 1) × z. On écrira donc la multiplication interne et externe de la même façon que dans R. On identiﬁera par la suite R et R · 1 = {λ uploads/s3/ mc01.pdf