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Olivier GRANIER (O.Granier) Oscillateurs mécaniques (mécanique du point matérie

Olivier GRANIER (O.Granier) Oscillateurs mécaniques (mécanique du point matériel) A – Etude en régime libre Olivier GRANIER 1 - Un 1er exemple simple : système {masse - ressort horizontal} : * En l’absence de frottements : le PFD ou une étude énergétique conduisent à : T r x u r l x O x M(m) 0 2 0 = + = + x x x m k x ω & & & & k m T π ω π 2 2 0 0 = = La solution de cette équation différentielle est de la forme : ) cos( sin cos 0 0 0 ϕ ω ω ω − = + = t C t B t A x Simulation Java Olivier GRANIER Un 1er exemple simple : système {masse - ressort horizontal} : * En présence de frottement fluide en : Le PFD s’écrit alors, en projection sur l’axe (Ox) : v hmr − 0 = + + − − = x m k x h x soit x hm kx x m & & & & & & On pose : Q h m k 0 0 0 2 2 ; ω σω λ ω = = = = σ σ σ σ est le facteur d’amortissement de l’oscillateur et Q le facteur de qualité. Alors : 0 2 2 2 0 0 2 0 0 2 0 = + + = + + = + + x x Q x x x x x x x ω ω ω σω ω λ & & & & & & & & & Différents régimes, selon les valeurs prises par σ σ σ σ (ou Q = 1/2σ σ σ σ) : régime pseudo-périodique, régime apériodique ou régime apériodique. Simulation Cabri Olivier GRANIER 2 - Méthode de résolution de l’équation différentielle : 0 2 2 2 0 0 2 0 0 2 0 = + + = + + = + + x x Q x x x x x x x ω ω ω σω ω λ & & & & & & & & & On recherche des solutions de la forme exp(rt), avec r appartenant a priori au corps des complexes. On aboutit au polynôme caractéristique : 0 2 2 0 0 2 = + + ω σω r r Dont le discriminant est : ) 1 ( 4 2 2 0 − = ∆ σ ω ) , ( : 1 0 ) , ( : 1 0 ) , ( : 1 0 0 2 1 2 1 ω σ σ σ − = = = ∆ ∈ > > ∆ ∈ − < < ∆ r unique racine critique e apériodiqu régime soit R r r e apériodiqu régime soit C r r périodique pseudo régime soit Olivier GRANIER ω σω ϕ ω σω ϕ ω ω ω σω ω σω σω 0 2 0 0 0 0 tan ; 1 ) cos( ) ( ) sin( ) cos( ) ( 0 0 =       + = − =       + = − − x C t Ce t x t t e x t x t t Régime pseudo-périodique : ) ( ) 1 ( 2 0 pulsation Pseudo avec − − = σ ω ω ) 1 ( < σ (CI : x(0)=x0 et vitesse initiale nulle) Simulation Regressi Simulation Maple Olivier GRANIER Régime apériodique : ) 1 ( > σ (CI : x(0)=x0 et vitesse initiale nulle) Simulation Regressi 1 ; 1 2 0 0 2 2 0 0 1 − − − = − + − = σ ω σω σ ω σω r r              + +      − =       + = − = − − − t t t t e e e x t x t sh t ch e x t x ω ω σω σω ω σω ω σω ω ω σω ω σ ω ω 0 0 0 0 0 2 0 1 1 2 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 0 0 Simulation Maple Olivier GRANIER Régime apériodique critique : ) 1 ( = σ (CI : x(0)=x0 et vitesse initiale nulle) Simulation Regressi t e t x t x 0 ) 1 ( ) ( 0 0 ω ω − + = Simulation Maple Olivier GRANIER 3 - Autres exemples d’oscillateurs : Le ressort vertical 0 l k éq l x éq + = l l O x x A vide A l’équilibre En mouvement éq T r T r g mr g mr x u r x éq x éq éq u x k T u k T r l l r r l l r ) ( ; ) ( 0 0 − + − = − − = Olivier GRANIER En l’absence de frottements : En présence de frottements fluides : k mg u mg u k T g m éq x x éq éq + = = + − − = + 0 0 ; 0 ) ( ; 0 l l r r r l l r r r x x x éq u x m u mg u x k a m T g m r & & r r l l r r r = + − + − = + ) ( ; 0 A l’équilibre : En mouvement : En tenant compte de la relation obtenue à l’équilibre : ) ( 0 0 2 0 m k Avec x x x m k x = = + = + ω ω & & & & Par un raisonnement similaire, on obtient : x x x x éq u x m u x hm u mg u x k a m v hm T g m r & & r & r r l l r r r r = − + − + − = − + ) ( ; 0 ) 2 ( 0 2 0 0 2 0 0 h et m k Avec x x x x m k x h x = = = + + = + + σω ω ω σω & & & & & & Olivier GRANIER Ressort sur un plan incliné : T r x u r g mr N r f r v r A x x k mg où d u mg u k éq x x éq α α sin : ' 0 sin ) ( 0 0 + = = + − − l l r r r l l O éq l En présence d’une force de frottement fluide de la forme , l’équation différentielle vérifiée par la variable x peut encore s’écrire sous la forme canonique : v hmr − 0 2 2 0 0 2 0 0 = + + = + + = + + x x Q x x x x x m k x h x ω ω ω σω & & & & & & & & & α Olivier GRANIER Oscillateurs couplés : Simulation Java (oscillateurs couplés) Simulation Maple Simulation Regressi Enoncé du problème : (fichier au format pdf) pdf Olivier GRANIER Le pendule simple : Simulation Java (pendule amorti) Simulation Java (pendule chaotique) Simulation Maple Simulation Regressi M (m) T r l θ θ θ u v & l r = O z z u r r u r θ u r g mr v hmr − En présence d’une force de frottement fluide : 0 sin 2 sin 2 0 0 = + + = + + θ ω θ σω θ θ θ θ & & & l & & & g h ) ( sin θ θ θ & l & & l hm mg m − − = Soit : Si l’angle θ θ θ θ reste « petit », alors on retrouve l’équation habituelle : 0 2 2 0 0 = + + = + + θ ω θ σω θ θ θ θ & & & l & & & g h PFD sur : θ u r v hm f r r − = Olivier GRANIER Cet espace est le produit de l'espace ordinaire par l'espace des vitesses. En d'autres termes, un point matériel M est repéré dans cet espace par les coordonnées (x,y,z) de son vecteur position ainsi que par celles de son vecteur vitesse, notées (vx,vy,vz). On se limite aux cas où un point matériel M est animé, dans l'espace ordinaire, d'un mouvement à une dimension, le long de l'axe (Ox). Dans l'espace des phases, le point représentatif de l'état de M se déplace alors dans une région à deux dimensions. Ce point, de coordonnées (x,v), décrit lors du mouvement de M une courbe appelée "courbe des phases". Cette "trajectoire" de M dans l'espace des phases a pour origine le point M0(x0,v0) correspondant uploads/s3/ oscillateurs.pdf