ÉCOLE POLYTECHNIQUE Promotion 2010 CONTRÔLE DU COURS DE PHYSIQUE PHY311 Mercred

ÉCOLE POLYTECHNIQUE Promotion 2010 CONTRÔLE DU COURS DE PHYSIQUE PHY311 Mercredi 6 juillet 2011, durée : 2 heures Documents autorisés : cours, recueil de problèmes, copies des diapositives, notes de PC Indiquer le numéro de votre groupe de PC sur votre copie. I Exercice (sur 3 points) : transmission d’une marche de potentiel On considère une particule arrivant depuis x = −∞sur une marche de potentiel de hauteur V0 > 0, c’est-à-dire un potentiel V (x) nul pour x < 0 et V (x) = V0 pour x ≥0. Préciser laquelle des assertions est correcte dans le cas où l’énergie de la particule E est inférieure à V0 : 1. la probabilité de transmission de la marche varie comme 1/√V0 −E, 2. la probabilité de transmission de la marche varie exponentiellement vis à vis de la variable V0 −E, 3. la fonction d’onde pénètre la marche, mais la probabilité de transmission est nulle, 4. la fonction d’onde ne pénètre pas la marche car cela correspondrait à une énergie cinétique négative, et la probabilité de transmission est nulle. Note. La probabilité de transmission est dite non nulle si le courant de probabilité dans la zone x > 0 est lui-même non nul. On justifiera la réponse en quelques lignes. II Exercice (sur 3 points) : fonction d’onde d’une particule dans un puits infini On considère une particule dans un puits de potentiel infini de largeur L avec V (x) = 0 pour 0 < x < L. On définit les fonctions un(x) selon les relations suivantes : u1(x) = A1 sin(πx/L), u2(x) = A2 cos(πx/L), u3(x) = A3 sin2(πx/L), où les coefficients An sont choisis de sorte que ces fonctions soient correctement normalisées. Les fonctions un(x) sont supposées nulles à l’extérieur de l’intervalle [0, L]. On considère une solution ψ(x, t) de l’équation de Schrödinger obéissant à la condition initiale ψ(x, 0) = un(x) Indiquer si les affirmations ci-dessous sont exactes ou inexactes. 1. u1(x) est une condition initiale physiquement acceptable 2. u2(x) est une condition initiale physiquement acceptable 3. u3(x) est une condition initiale physiquement acceptable On justifiera les réponses en quelques lignes. III Exercice (sur 3 points) : équilibre d’une molécule di-atomique Les vibrations d’une molécule diatomique telle que C–O peuvent être décrites en supposant que les deux atomes sont liés par un potentiel d’oscillateur harmonique V (R) = mω2(R −R0)2/2 où R est la distance séparant les deux noyaux C et O, R0 est la distance d’équilibre de la liaison C-O, et m est la masse réduite (1/m = 1/MC + 1/MO)). La longueur d’onde de la radiation électromagnétique émise lors de la transition entre les deux niveaux de vibration les plus bas vaut 4.7 micromètres. Par ailleurs, on trouve dans les tables que la valeur de R0 pour la molécule C–O est 0.11 nm quand la molécule est dans son état fondamental. Que pensez-vous de cette affirmation ? 1. Ce n’est qu’une valeur moyenne non pertinente car l’incertitude quantique sur la position relative des atomes est du même ordre de grandeur 2. C’est une quantité bien définie car l’incertitude quantique sur la distance entre C et O est bien plus petite que 0.11 nm On justifiera la réponse en quelques lignes. IV Problème (sur 11 points) : principe d’une horloge atomique Depuis 1967, les unités de temps et de fréquence sont définies à partir d’une référence atomique, le césium. On considère les deux niveaux d’énergie les plus bas de cet atome, E1 et E2 (E2 > E1), et on pose par définition qu’une onde électromagnétique résonante avec la transition E1 ↔ E2 effectue 9 192 631 770 périodes d’oscillation en une seconde. Le but de ce problème est d’étudier comment on peut réaliser en pratique cette résonance entre l’onde électromagnétique et la transition E1 ↔E2. Pour simplifier, on suppose dans ce problème que les niveaux d’énergie E1 et E2 sont non dégénérés, et on note |ψ1⟩et |ψ2⟩les états associés. On négligera le mouvement du centre de masse de l’atome et on restreindra la dynamique interne de l’atome au sous-espace de dimension 2 engendré par |ψ1⟩et |ψ2⟩. En absence d’onde électromagnétique, l’hamiltonien de l’atome de césium s’écrit donc dans la base {|ψ1⟩, |ψ2⟩} : ˆ H0 = E1 0 0 E2  . (1) On notera |ψ(t)⟩= a1(t)|ψ1⟩+ a2(t)|ψ2⟩l’état de l’atome à un instant t quelconque. 1. En absence d’onde électromagnétique, donner l’expression de a1(t) et a2(t) en fonction de a1(0) et a2(0). Si l’atome est préparé à l’instant t = 0 dans l’état |ψ1⟩, quelle est la probabilité P2(t) de le trouver dans l’état |ψ2⟩à l’instant t ? 2. On envoie sur l’atome une onde électromagnétique de pulsation ω. On supposera que le couplage (d’ori- gine magnétique) entre l’atome et l’onde peut s’écrire dans la base {|ψ1⟩, |ψ2⟩} : ˆ V (t) = v(t) cos(ωt) 0 1 1 0  , (2) où la quantité v(t) est proportionnelle à l’amplitude de l’onde électromagnétique. L’hamiltonien total du système est alors ˆ H(t) = ˆ H0 + ˆ V (t). À partir de l’équation de Schrödinger, exprimer da1/dt et da2/dt en fonction de a1(t), a2(t) et des paramètres du problème (E1, E2, ω, v(t)). On ne cherchera pas à résoudre ce système différentiel. 3. On suppose que l’atome est préparé à l’instant t = 0 dans l’état |ψ1⟩. Montrer que l’on a pour t > 0 a2(t) = 1 i¯ h Z t 0 v(t′) cos(ωt′) a1(t′) e−iE2(t−t′)/¯ h dt′. (3) 4. À partir de (3), on peut obtenir une valeur approchée de a2(t), valable à l’ordre 1 en v, en prenant pour a1(t′) le résultat à l’ordre 0 en v trouvé en question 1. Donner cette expression approchée de a2(t) en supposant que a1(0) = 1. 5. On suppose à partir de maintenant que la quantité v(t) est donnée par la fonction en « double créneau » représentée sur la figure 1. Cette fonction vaut v0 dans les deux intervalles de largeur 2τ centrés respectivement en ta et tb, et elle est nulle partout ailleurs. Que vaut P2 pour t < ta −τ ? Figure 1 – Fonction en double créneau donnant le couplage entre l’atome et l’onde électro-magnétique, correspondant à la méthode des franges de Ramsey. 6. On s’intéresse aux temps t compris entre les deux créneaux : ta + τ < t < tb −τ. (a) Donner l’expression de a2(t). On mettra cette expression sous forme d’une somme de deux termes, respectivement proportionnels à 1/(ω −ω0) et 1/(ω + ω0), où on a posé ω0 = (E2 −E1)/¯ h. (b) On suppose que la pulsation ω de l’onde est choisie proche de la pulsation de résonance atomique ω0 : |ω −ω0| ≪ω0. Expliquer pourquoi ceci permet de négliger (sauf cas particulier) l’un des deux termes intervenant dans l’expression de a2(t). Donner l’expression ainsi simplifiée de P2. On mettra cette expression sous la forme P2 = v0τ ¯ h 2 F(∆τ), (4) où ∆= ω −ω0 et où F est une fonction mathématique que l’on précisera. (c) Tracer P2 en fonction de ∆. Expliquer en quoi cette variation permet de verrouiller la fréquence de l’onde électromagnétique sur la transition E1 ↔E2 de l’atome. (d) Comment varient les valeurs respectives de la précision de la mesure de fréquence et de la durée de cette mesure ? Discuter le résultat obtenu en terme de « relation d’incertitude » associée à la transformée de Fourier temps-fréquence. 7. On s’intéresse aux temps t après le deuxième créneau : t > tb + τ. (a) En continuant à utiliser l’approximation découlant de |ω −ω0| ≪ω0, calculer a2(t). (b) Calculer et tracer P2 en fonction de ∆. Montrer en particulier que cette quantité oscille rapidement avec une période qu’on reliera à T = tb −ta. On supposera T ≫τ pour évaluer la largeur du pic central de la fonction P2(∆). (c) Interpréter ce phénomène d’oscillation en terme d’interférences entre deux « chemins quantiques » conduisant d’un même état initial vers un même état final. 8. La précision avec laquelle on peut ajuster la fréquence de l’onde électromagnétique sur la transition atomique dépend de la largeur à mi-hauteur de la courbe de résonance. (a) Que gagne-t-on à utiliser une fonction en double créneau au lieu d’un simple créneau de largeur τ ≪T ? (b) Pouvez-vous donner une raison (de nature technique) pour laquelle il est préférable d’utiliser deux créneaux de durée τ ≪T et séparés de T, plutôt qu’une seule impulsion de durée T ? 9. Un résultat de mesure de P2, obtenu avec une fontaine atomique est donné en figure 2. Commenter ce résultat en précisant les valeurs de T et τ utilisées. Quelles sont les différences notables entre ce résultat expérimental et les prédictions du modèle perturbatif étudié plus haut ? 10. En admettant que l’on sache pointer le centre de la raie montré dans l’insert de la figure 2 avec une précision relative de 10−4 par rapport à la largeur de la frange centrale, quelle est la précision relative de l’horloge ainsi obtenue (erreur sur la mesure de fréquence, divisée par uploads/s3/ i-exercice-sur-3-points-transmission-d-x27-une-marche-de-potentiel.pdf

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