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LYCÉE NAVAL 2015-2016 SUP MPSI / PCSI MATHÉMATIQUES Aux futurs étudiants de SUP

LYCÉE NAVAL 2015-2016 SUP MPSI / PCSI MATHÉMATIQUES Aux futurs étudiants de SUP du lycée naval. Vous venez d’être admis au lycée naval en classe de SUP, PCSI ou MPSI, et nous vous en félicitons. Pour bien préparer votre rentrée, il est indispensable de faire des mathématiques pendant l’été, surtout au mois d’août. Vous trouverez ci-joint un formulaire concernant des notions vues au lycée. Pour chacun des thèmes abordés il faut revoir les cours correspondants, puis mémoriser tous les résultats. D’autre part, en guise de devoirs de vacances, nous proposons deux exercices concernant les fonctions (exercice 1), et les nombres complexes (exercice 2). Un test aura lieu à la rentrée pour évaluer votre niveau après ces révisions, il comportera en particulier des questions sur le formulaire. Vous trouverez ci-joint l’énoncé du test de la rentrée 2015. Votre préparation aux concours commence cet été ! Les enseignants de mathématiques. LYCÉE NAVAL 2015-2016 SUP MPSI / PCSI MATHÉMATIQUES Devoirs de vacances EXERCICE 1 Soit f la fonction réelle telle que , pour x∈ℝ : ( ) 2 1 1 f x x = + . On appelle F la primitive de f qui s’annule en 0 . L’existence de F est admise. On note Γ la courbe représentative de la fonction F . 1) Déterminer le sens de variation de F . 2) Montrer que F est impaire. On pourra dériver la fonction ( ) : G x F x − ֏ . 3) Pour x∈ℝ , justifier l’égalité : ( ) 2 0 1 1 x F x dt t = + ∫ . 4) a) Montrer que , pour t + ∈ℝ : 2 1 1 1 1 t t ≤ + + . b) En déduire que , pour x + ∈ℝ : ( ) ( ) ln 1 F x x ≥ + . c) Déterminer la limite de F en +∞. 5) Soit H la fonction réelle telle que , pour x∈ℝ : ( ) ( ) H x F x x = − a) Étudier les variations et le signe de H sur ℝ. b) En déduire la position de la courbe Γ par rapport à sa tangente au point d’abscisse 0 , que l’on note ∆. 6) Soit Φ la fonction réelle telle que , pour x∈ℝ : ( ) ( ) 2 ln 1 x x x Φ = + + . a) Justifier que Φ est dérivable sur ℝ. b) Calculer ( ) ' x Φ pour x∈ℝ. c) Établir que les fonctions F et Φ sont égales. 7) a) Montrer que , pour * x + ∈ℝ : ( ) ( ) 2 1 1 ln 2 ln 1 1 2 F x x x     = + + +             . b) Que peut-on en déduire quant à Γ et à la courbe ( ) C d’équation ( ) ( ) ln 2 ln y x = + ? 8) Représenter sur un même schéma les courbes Γ et ( ) C , ainsi que la droite ∆. 9) Si l’intégration par partie a été vue en terminale : calculer l’aire de la partie du plan limitée par Γ et les droites d’équations respectives 0 x = , 1 x = et 0 y = . LYCÉE NAVAL 2015-2016 SUP MPSI / PCSI MATHÉMATIQUES Devoirs de vacances EXERCICE 2 Soit r un réel strictement positif et θ un réel avec { } , k k θ π ∉ ∈ℤ . On définit la suite de nombres complexes ( ) n n v ∈ℕ en posant : 0 1 v = et , pour n∈ℕ : 1 i n n v re v θ + = . 1) Dans le cas où 1 2 r = et 4 π θ = , donner les valeurs de 1 v et 2 v sous leur forme trigonométrique , puis sous leur forme algébrique. 2) Dans le cas général , déterminer l’expression de n v en fonction de r , θ et n . Le plan étant muni d’un repère orthonormal direct , on définit la suite de points ( ) n n M ∈ℕ de la façon suivante : 0 M est le point d’affixe 0 et , pour n∈ℕ : 1 n M + est le point tel que le vecteur 1 n n M M + a pour affixe n v . 3) Dans le cas où 1 2 r = et 4 π θ = , placer sur un schéma clair les points 1 M 2 M et 3 M . 4) Dans le cas général , pour n∈ℕ, on note n z l’affixe du point n M . a) Donner la relation liant n z , 1 n z + et n v . b) Établir que , pour * n∈ℕ : 0 1 1 n n v v v z − + + + = ⋯ . c) En déduire l’expression de n z en fonction de r , θ et n . On rappelle que , pour α ∈ℂ avec 1 α ≠ et p∈ℕ : 1 2 1 1 1 p p α α α α α + − + + + + = − ⋯ . 5) On pose : 1 1 i a re θ = − , et on note A le point d’affixe a . a) Exprimer en en fonction de r , θ et n l’affixe du vecteur n AM , que l’on note n w . b) Montrer que : si 1 r < , alors : lim 0 n n w →∞ = . c) Montrer que , pour n∈ℕ : 1 i n n w re w θ + = d) Donner une interprétation graphique des deux résultats précédents. Vérifier sa validité dans le cas où 1 2 r = et 4 π θ = en plaçant sur le schéma de la question 3 le point A (on calculera a dans ce cas particulier) , puis les points 4 M et 5 M . LYCÉE NAVAL SUP PCSI / MPSI 1 FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUES 1. Factorielle – Coefficients binomiaux Soit et n k deux entiers tels que 0 k n ≤ ≤ . Pour 1 n ≥, la factorielle de n est l’entier ! 1 2 n n = × × × ⋯ . On pose 0! 1 = . On pose d’autre part ( ) ( ) ( ) 1 1 ! ! ! ! n n n n k n k k n k k × − × × − + = =  − ×  ⋯ . On a 1 0 n n n   = =     , n n k n k    =    −    et 1 1 1 n n n k k k +       + =       + +       . Le tableau ci-contre donne les valeurs des entiers n k    pour 0 4 k n ≤ ≤ ≤ . n k ↓ → 0 1 2 3 4 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 2. Valeur absolue et racine carrée Valeur absolue Soit x un réel. On pose { } max , x x x = − . On a si 0 si 0 x x x x x ≥  = − ≤  ( x est un réel positif ). Pour et x y deux réels, on a xy x y = et x y x y x y − ≤ + ≤ + (inégalités dites triangulaires). Pour et x A deux réels avec A positif, on a les équivalences ( ) et x A A x A x A x A ≤ ⇔− ≤ ≤ ⇔ −≤ ≤ et ( ) ou x A x A x A ≥ ⇔ ≤− ≥ . Racine carrée Soit a un réel positif. La racine carrée de a , notée a , est l’unique réel positif dont le carré est a . On a donc, pour tout réel x 2 0 x a x a x  = = ⇔ ≥  et ( ) 2 ou x a x a x a = ⇔ = = − . De plus 2 x x = . LYCÉE NAVAL SUP PCSI / MPSI 2 3. Trigonométrie Cosinus et sinus d’un réel Le plan, orienté dans le sens usuel, est muni d’un repère orthonormal direct ℜ d’origine O . A est le point de coordonnées ( ) 1,0 , ( ) C le cercle de centre O et de rayon 1. Pour x un réel, on note ( ) M x le point de ( ) C tel que uploads/s3/ sup-mpsi-sup-pcsi 1 .pdf