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r . PREMIERE PARTIE Solutions Homogènes en Mécanique des Fluides Introduction -

r . PREMIERE PARTIE Solutions Homogènes en Mécanique des Fluides Introduction - phénomènes étudiés en physique classique conduisent bien souvent à systèmes d'équations aux dérivées partielles fort complexes dont il est que toujqurs impossible de trouver la solution analytique générale licite. Bien souvent meme, la solution répondant à des conditions -ales et à des conditions aux frontières prescrites est fort difficile, sinon rs de portée dans l'état actuel de l'analyse. Mais il arrive fréquemment 'il soit possible d'étudier certaines solutions particulières. Ceci se produit particulier lorsque l'ensemble des solutions du système envisagé reste ariant par certains groupes de transformations. Alors, si on se limite aux solutions qui jouissent de certaines propriétés nvariance vis à vis d'un sous-groupe de Te groupe, on définit ainsi une e de solutions qui vérifient un système portant sur des fonctions dépen- t d'un nombre plus petit de variables indépendantes. Particulièrement remarquable est le groupe des transformations dites es ou semblables lié aux changements d'échelles des grandeurs inter- nant dans le phénomène physiqueconsidéré. Lessolutions que l'on obtient rs sont appelées /wrrwgèllLs ou semblables (en anglais self-similar) On uve dans la littérature de multiples exemples de solùtions homogènes; , ais c'est sans doute en mécanique des fluides qu'on a découvert la plus ande variété de telles solutions, qu'on les a étudiées le plus complètement, e l'on a particulièrement élaboré les méthodes qui permettent de les tenir et les enseignements qu'elles fournissent. La première partie de ce cours s,,"propose, sur des exemples qu'on essaiera varier, de donner un aperçu sur cette question. n n'est évidemment pas estion d'etre complet, la littérature comportant certainement des cer- . es de références. On espère toutefois donner une idée de l'intérêt et de importance du sujet. Sans être exhaustif dégageons dès cette introduction quelques conclu- ons générales de l'étude des solutions homogènes qui seront illustréés et - récisées dans les chapitres qui suivent. 1) Elles fournissent parfois la solution exacte de problèmes, particuliers tertes, mais intéressants en eux-memes. l 9 10 PAUL GERMAIN MttHODES ASYMPTOTIQUES EN MECANIQUE DES FLUIDES Il (3) (4) (2) T, := afjn], Uij := -pSij + Ti}' v.=0 , 'd rt àl'obstacle V - V _ W désigne la vitesse relative du flUi e par rappo Ù ,- 1 !. d' . tl'Iéàl'obstacle) Sur une surfacede contact, W désigne la VItesse un polO . . T a ~tesse relative V, doit être continue ainsi que le vecteur contramte , our la direction il normale à la surface. Rappelons que 1 Ecoulements Rectilignes Non Stationnaires 1.1 Généralités . 1 • s'intéresse à un fluide incompressible (masse volunuque p constante) et viscosité constante }L De façon générale le champ des VItessesé~o~ e U ( x x t) = V (x t) dans un repère orthonorm 0 es osantes 1 XI> "J, , , . (x x t)- rdonnées sont désignées par x,, x" xJ-et la presslOn-p X,, " J,. - (x, t)~oivent vl!rifier dans tout domaine fluide le système des équations e Navier-Stokes p(av, + viv,.) + p, = /; + l'AV" at . (1) ~=~ . ùf, désigne les f~rces extérieures volumiques, qui d'ailleurs seront p:s~s n' Les trois premières équations (1) traduisent la conservaùon e a u es: . te' _ 1 23) ladernièrelaconservaùondelamasse. uantlté de mouvemen 1 - , , , .. d' épétés et la n fait usage de la convention de sommation sur les ln Ices r .. t Ù · V désign·e av/ax Sur un obstacle, on doit écrire la condition o a on IJ 1 j' adhérence 1 Phénomènes de Diffusion .dérerons ici des situations physiques très simples.impliquant ~ne US c~nsl d'énergie et par suite une diffusion. En mécamque des. flUld.es slpatlOn .étés principales conduisant à ces phénomènes sont la VISCOSité deux ~ro~~üité thermique Par raison de simplicité nous ne les ferons pas la con. UC.I ultan·ément da~s les exemples traités complètement. Nous tervemr sim . très' les . d'abord quelques écoulements très calsslques et slmp. ~~~:n~Squeuxincompressibles, puis des problè~es "d'ondes therml- ". enfin vu leur importance en mécanique des flUides, nous don?erons :~q~es indications rapides sur les solutions homogènes de la théone de la uche limite. On pourrait penser à juste titre que les moyens de calcul dont on dis actuellement et qui permettent d'obtenir numériquement les solu cherchées diminuent l'intérêt de ces solutions homogènes; et certes d passé elles constituaient bien souvent la seule source d'information don disposait. Mais les conclusions dégagées plus haut sont par elles-mê rassurantes. Les informations qu'on en tire sont plutôt de nature com mentaire de celles obtenues par calcul numérique de solutions particuli et d'ailleurs, dans de nombreux cas, l'étude préalable des solutions ho gènes constitue un auxiliaire précieux et parfois indispensable pour celui doit bâtir un programme efficace et réaliste. La théorie des solutions homogènes présente bien évidemment des li étroits avec celle de l'analyse dimensionnelle. D serait intéressant de dégager de façon très approfondie. Nous formulerons seulement quelq remarques à ce sujet. Disons simplement ici que la méthode des soluti homogènes complète et précise la méthode de l'analyse dimensionne Comme elle, mais allant nettement plus avant, elle est particulièrement u lorsqu'on doit étudier un phénomène physique d'une assez grande c plexîté. Les exemples que nous avons retenus seront abordés au cours de de chapitres. Dans le premier seront traités des problèmes de diffusion; d le second des problèmes d'écoulement de fluide parfait. En fait, obligés nous limiter, nous avons choisi, dans le second chapitre, de ne traiter complètement que le cas des écoulements stationnaires transsoniques est l'un des plus intéressants par la variété des questions qu'il soulève. aurait été aussi fort souhaitable de pouvoir évoquer les écoulements n stationnaires dépendant d'une variable d'espace. Nous ne pourrons q renvoyer à la littérature très abondante consacrée à ce sujet. Le classement n'est pas significatif en ce qui concerne la théorie des sol tions homogènes, il repose plutôt Sur les caractères des problèmes physiqu considérés et par suite sur le type d'informations que l'on peut retirer, sel les cas, de l'étude des écoulements homogènes. Mais insistons pour termin sur le but essentiel que nous nous proposons: dégager sur les quelqu exemples retenus les méthodes générales d'étude, les propriétés général et les problèmes généraux qui se présentent normalement dans la rechere et la mise en oeuvre des solutions homogènes en physique mathématique. , 2) Elles mettent en évidence des propriétés qualitatives essentielles l'intelligence des phénomènes considérés. 3) Bien souvent elles donnent les termes intervenant dans les dévelo ments asymptotiques des solutions de problèmes pour lesquels il est im sible de trouver une solution complète. (14) (12) (8) (10) 13 ~HODES ASYMPTOTIQUES EN MtCANIQUE DES FLUIDES û(x, 1) =/(8), 1.3 Exemples ,a) Problème de Rayleigh 11 s'agit de la mise en mouvement d'une masse uide occupant le demi-espace x, > 0, en contact avec le plan nglde X, ~ ~~ l'instant initial le fluide et le plan sont au repos. ~ux mstants t > é lan est animé d'un mouvement unifo~e de translation de VItesse donn e nstante V. 11 faut satisfaire les condItions O (13) u(x,O) = 0; u(O, t) = V; t > ; , . d'ti' t adws'ant l'adhérence à la paroi. Une des solutions deUXIème con 1 on r . tenues en (7) et (10) répond à la questIOn u(x t) = V(l - 2/';-;; r' exp(-s') ds). , Jo • 1(9) = A + B Lexp(-s') ds A t B sont deux constantes arbitraires, Les solutions définies par (7) et 0) s~nt des solutions homogènes particulières de l'équatIon de la chaleur )Plus généralement un sous-groupe à un paramètre s'obtient en posant = a'. Les solutions invariantes pour ce sous-groupe sont de la forme: (II) ü(x, t) = t-'''/,(8) on obtient bien ainsi des solutions de (6) si /,(8) est une solution de quation différentielle L,(f) =1:' + 291: + 2n/, = 0, uation qu'il est d'ailleurs possible d'intégrer par quadratures, une fonction homog~nede degré zéro de x et de ~Par suite, s'il existe telles solutions, elles sont nécessairement de la forme (7) c 8=_x_ v'4vï our que (7) soit solution de (6) il faut et suffit que/(8) soit solution de quation différentielle (9) f" + 28/' = 0, , mme on le voit en reportant (7) dans (6). L'intégration de (9) est immédiate donne: PAUL GERMAIN tLa viscosité cinématique de l'air et de l'eats dans les conditions nonnaJes est égale à0,15 0,01 cm2 1sec respectivement. Celle de la g1ycc!rine est de 6,8 cm2 /sec; celle du mercure 12.10 cOl2 /sec. T" = ,,(V I + V) IJ r- l, ),1 , formules dans lesquelles <Tu désigne le tenseur des contraintes, TU les traintes visqueuses, seules responsables du frottement tangentiel. Si le fl ' est parfait, p. = 0 dans (1), et dans les conditions aux frontières il s d'écrire que seule la composante normale de V, est nulle sur un obsta ou continue à travers une surface de contact, les conditions tladhére étant ainsi remplacées par des conditions de glissement, Du point de mathématique ceci est lié au fait que lorsqu'on fait!" = 0, uploads/s3/ germain-pdf.pdf