Mathématiques 9-10-11, Aide-mémoire, Ressources théoriques © CIIP – LEP, 2011 O

Mathématiques 9-10-11, Aide-mémoire, Ressources théoriques © CIIP – LEP, 2011 On peut représenter l’ensemble des nombres réels par une droite, appelée droite numérique: R – 3,5 –5 0 5 π 10 9,666... 5 7 – 2 1 5 + 50 > Ordre croissant (p. 11), Ordre décroissant (p. 11) Droite numérique Ensemble de nombres Notation nombres naturels … ; 0 ; 1 ; 5 ; 12 ; 1022 ; … nombres entiers relatifs
… ; –52 ; –20 ; –2 ; 0 ; 4 ; 215 ; … nombres rationnels Q … ; –10 ; – ; – ; 0 ; 0,333… ; ; 11 ; 19,6 ; … nombres réels R … ; –19 ; –3,4 ; – 2 ; 0 ; 2 ; ; π ; 30 ; … 5 3 7 4 2 3 7 5 Q R 1 – π > Nombre entier relatif (p. 18), Nombre rationnel (p. 20), Nombre irrationnel (p. 27) Chiffres et nombres Les chiffres sont des symboles. Il en existe dix: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Les nombres sont écrits à l’aide d’un ou de plusieurs chiffres. Exemple: 536 est un nombre écrit à l’aide de trois chiffres. Ensembles de nombres Page 10 / 30 Page 10 / 30 Page 10 / 30 Mathématiques 9-10-11, Aide-mémoire, Ressources théoriques © CIIP – LEP, 2011 Exemple –7 < –2,5 < < 5,04 < 12 1 2 Attention! –8 < –6 –12 < 0 3,14 < 3,7 croissance crescere (latin): croître Classer des nombres par ordre croissant, c’est les classer du plus petit au plus grand. Le positionnement de ces nombres sur la droite numérique permet leur comparaison: les nombres sont plus petits lorsqu’ils sont plus à gauche, plus grands lorsqu’ils sont plus à droite. > Droite numérique (p. 10) Ordre croissant Attention! –8 > –12 0 > –6 0,1 > –100 Classer des nombres par ordre décroissant, c’est les classer du plus grand au plus petit. Exemple 127,5 > 8 > 0,058 > – > –10 > –10,4 3 4 > Droite numérique (p. 10) Ordre décroissant La division dans (ou divi - sion avec reste) est aussi appelée division euclidienne. Pour éviter la confusion entre le symbole «» de la multi- plication et la lettre x utilisée en algèbre, on utilise le symbole «·» pour indiquer la multiplication. Addition 0,5 + 12,5 + 18 = 31 les termes la somme Soustraction 43 – 21,2 = 21,8 les termes la différence Multiplication 25 · 3,2 · 4 = 320 les facteurs le produit Division (dans ) le dividende le diviseur 423 15 – 30 28 123 –120 3 preuve: 423 = 15 · 28 + 3 Opérations – vocabulaire le quotient le reste Page 11 / 30 Page 11 / 30 Page 11 / 30 Mathématiques 9-10-11, Aide-mémoire, Ressources théoriques © CIIP – LEP, 2011 L’addition est associative (a + b) + c = a + (b + c) L’addition est commutative a + b = b + a 0 est l’élément neutre pour l’addition a + 0 = 0 + a = a Pour tout nombre a, il existe un nombre opposé, noté –a, tel que: a + (–a) = (–a) + a = 0 La multiplication est distributive sur l’addition et la soustraction a · (b + c) = (a · b) + (a · c) a · (b – c) = (a · b) – (a · c) La multiplication est associative (a · b) · c = a · (b · c) La multiplication est commutative a · b = b · a 1 est l’élément neutre pour la multiplication a · 1 = 1 · a = a Pour tout nombre a différent de 0, il existe un nombre inverse, noté , tel que: a · = · a = 1 1 a 1 a 1 a Attention! La soustraction et la division ne sont ni associatives, ni commu- tatives, et n’ont pas d’élément neutre. associativité adsocius (latin): joint à, associé commutativité commutare (latin): changer une chose contre une autre chose Propriétés de l’addition et de la multiplication dans On effectue les opérations dans l’ordre suivant: 1. Opérations notées entre parenthèses (17 – 5) · 6 = 12 · 6 = 72 2. Puissances, racines 45 : 32 = 45 : 9 = 5 3. Multiplications, divisions 7 + 8 · 5 = 7 + 40 = 47 4. Additions, soustractions Lorsque des additions et des soustractions se suivent, on effectue les opérations de gauche à droite. 75 – 4 + 12 = 71 + 12 = 83 Lorsque des multiplications et des divisions se suivent, on effectue aussi les opérations de gauche à droite. 12 : 4 · 15 = 3 · 15 = 45 Exemple plus complexe 2 + 5 · (42 + 20 : 4) = 2 + 5 · (16 + 5) = 2 + 5 · 21 = 2 + 105 = 107 Autre présentation possible 2 + 5 · (42 + 20 : 4) 16 5 21 105 107 Priorités des opérations Page 12 / 30 Page 12 / 30 Page 12 / 30 Mathématiques 9-10-11, Aide-mémoire, Ressources théoriques © CIIP – LEP, 2011 Exemple La moyenne arithmétique des quatre nombres 5 ; 5,5 ; 3,5 ; 4 est égale au nombre = 4,5 5 + 5,5 + 3,5 + 4 4 On considère n nombres réels: x1, x2, x3, …, xn La moyenne arithmétique de ces n nombres est égale au nombre x1 + x2 + x3 + … + xn n Il existe d’autres moyennes: la moyenne harmonique, la moyenne géométrique, etc. Moyenne de nombres Un nombre est constitué de deux parties: a) un signe + ou – appelé signe prédicatoire, b) un nombre réel positif appelé valeur absolue. La valeur absolue d’un nombre a, notée a, est aussi appelée la distance entre 0 et le nombre a. > Opposé d’un nombre (p. 13), Nombre entier relatif (p. 18) –5 = +5 = 5 R 0 –1 –2 –3 –4 –5 +1 +2 +3 +4 +5 +6 Exemples +7 est constitué du signe + et de la valeur absolue 7 – 4,2 est constitué du signe – et de la valeur absolue 4,2 Exemples +7 = 7 et – 4,2 = 4,2 Deux nombres qui ont la même valeur absolue sont représentés par des points situés à la même distance de zéro. Valeur absolue Deux nombres sont opposés si leur somme est égale à zéro. Exemples (+6) et (–6) sont deux nombres opposés, car (+6) + (–6) = 0
–  et
+  sont deux nombres opposés, car
–  +
+  = 0 Deux nombres opposés ont la même valeur absolue et sont de signes différents. L’opposé d’un nombre x est noté –x. 1 4 1 4 1 4 1 4 Attention! Si x est négatif, alors –x est positif. opposé opponere (latin): placer en face de > Propriétés de l’addition et de la multiplication dans R (p. 12), Valeur absolue (p. 13), Inverse d’un nombre (p. 14), Nombre entier relatif (p. 18) Opposé d’un nombre Page 13 / 30 Page 13 / 30 Page 13 / 30 Mathématiques 9-10-11, Aide-mémoire, Ressources théoriques © CIIP – LEP, 2011 Deux nombres sont inverses l’un de l’autre si leur produit est égal à 1. Exemples 4 et 0,25 sont inverses l’un de l’autre, car 4 · 0,25 = 1 – et –5 sont inverses l’un de l’autre, car – · (–5) = 1 et sont inverses l’un de l’autre, car · = 1 L’inverse d’un nombre x différent de zéro est noté ou x –1. 1 x 1 5 1 5 5 8 8 5 8 5 5 8 inverse inversus (latin): renversé, interverti 0 n’a pas d’inverse, car en multipliant 0 par un nom bre, on n’obtient jamais 1. > Propriétés de l’addition et de la multiplication dans R (p. 12), Opposé d’un nombre (p. 13), Puissance d’exposant négatif (p. 28) Inverse d’un nombre Un nombre naturel est un nombre entier supérieur ou égal à 0. On utilise la lettre pour désigner l’ensemble de tous les nombres naturels. = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; …} Nombre naturel Si a et b sont deux nombres naturels non nuls, alors a est un multiple de b s’il existe un nombre naturel c tel que a = c · b Exemples 32 est un multiple de 8, car 32 = 4 · 8 27 n’est pas un multiple de 10 4 ; 8 ; 12 ; 16 ; 20 ; 24 ; 28 ; 32 ; 36 ; … sont des multiples de 4, et il y en a une infinité > Opérations – vocabulaire (p. 11), Diviseur (p. 15) Multiple Un multiple commun de plusieurs nombres naturels est un nombre naturel qui est multiple de chacun d’eux. Le plus petit multiple commun de plusieurs nombres naturels est appelé le ppmc de ces nombres. uploads/S4/ aide-memoire 2 .pdf

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• Publié le Apv 04, 2021
• Catégorie Law / Droit
• Langue French
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