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1 PRÉPA-BAC 2021 PRÉPA-BAC 2021 EXCELLENCE Group Madame Kouame, statisticienne

1 PRÉPA-BAC 2021 PRÉPA-BAC 2021 EXCELLENCE Group Madame Kouame, statisticienne à la retraite, a créé une petite entreprise de fabrication de colliers traditionnels. Dans l’intention de faire des prévisions pour la production de colliers de l’année 2011, elle a lait l’état des ventes des huit types de colliers fabriqués en 2010 Les résultats sont donnes dans le tableau dessous : Type de collier 1 2 3 4 5 6 7 8 Prix Xi de vente en certaines de francs CFA du colliers de type i. 54 60 66 72 84 90 96 102 Nombre Yi de dizaines de colliers vendus au prix xi 18 16 15 13 10 9 8 7 On désigne par : X le caractère « prix de vente du collier » ; Y le caractère « nombre de colliers vendus au prix X » 1. Représenter graphiquement le nuage de points associé à la série statistique double de caractère (X ;Y) dans le plan muni d’un repère orthogonal (O, I, J). On prendra 2 cm pour 10 centaines de francs sur (OI) et 2 cm pour 2 dizaines de colliers sur (OJ). 2. Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage. 3. a. Calculer la variance V(X) de X. b. Calculer la covariance COV(X ;V) de la série statistique double de caractère (X ;Y). c. On admet que V(Y) = 14,50. Démontrer que l’arrondi d’ordre 2 du coefficient de corrélation linéaire est égal à - 0,99. 4. Soit (D) la droite de régression de V en X par la méthode des moindres carrés. a. Justifier que l’arrondi d’ordre 2 dii coefficient directeur de (D) est égal à -0,23. b. Démontrer qu’une équation de la droite (D) est : , y x 0 23 =- , 29 94 + . 5. Pour l’année 2011, Madame Kouamé souhaite fabriquer un nouveau type de collier qu’elle vendrait à 11 500 francs CFA l’unité. Combien de collies de ce type pourrait-elle vendre selon l’ajustement linéaire réalisé ? EXERCICE 1 On considère la suite numérique U définie sur N * par : U U 3 n 1 1 = = + ) U U 2 1 4 n n + b l. 1. On considère la fonction f définie sur ; 0 3 + 6 @ par : ( ) f x 2 1 = x x 4 + b l. On note (C) la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère orthogonal (O, I, J) où les unités respectives sur (OI) et (OJ) sont 4 cm et 2 cm. La courbe (C) et la droite (D) d’équation y x = sont tracées sur la feuille annexe à rendre avec la copie. a. Représenter sur l’axe des abscisses (OI) les termes , U U 1 2 et U3 de la suite U en utilisant la EXERCICE 2 BAC MATHÉMATIQUES Bac 2012 2 Mathématiques BAC 2012 PRÉPA-BAC 2021 PRÉPA-BAC 2021 EXCELLENCE Group courbe (C) et la droite (D). b. Quelle conjecture peut-on faire quant à la convergence de la suite U ? 2. On admet que f est continue et strictement croissante en ; 2 3 6 @. a. Démontrer que ( ; ) f 2 3 6 @ ; 2 3 1 6 @. b. En utilisant un raisonnement par récurrence, démontrer que pour tout entier , n 1 2 2 # U 3 n # 3. a. Démontrer que la suite U est décroissante. b. En déduire que la suite U est convergente. 4. On considère la suite V définie sur N * par : V n = U U 2 2 n n + - . a. Démontrer que tout entier , n V 1 n 1 $ + ( ) V n 2 = . b. Démontrer par récurrence que pour tout entier , n 1 $ ( ) V V n n 1 2 1 = - . c. Calculer V 1 puis exprimer V n en fonction de n . d. Exprimer Un en fonction n . e. Démontrer que limV 0 = . En déduire la limite de U . ANNEXE 3 Mathématiques BAC 2012 PRÉPA-BAC 2021 PRÉPA-BAC 2021 EXCELLENCE Group Partie A On considère la fonction g dérivable et définie sur ; 0 3 + 6 @ par : ( ) g x e x = + lnx 2 . 1. a. Déterminer ( ) limg x x 0 " et ( ) limg x x" 3 + . b. Calculer ( ) g x l . c. Etudier le sens de variation de g puis dresser son tableau de variation. 2. a. Démontrer que l’équation ( ) g x 0 = admet une solution unique a sur ; 0 3 + 6 @ . b. Vérifier que , 0 4 1 a , 0 5 1 . c. Démontrer que : x x d d 6 6 ) ; ; 0 3 a a + 5 6 @ @ ( ) ( ) g x g x 0 0 1 2 Partie B On considère la fonction f définie sur ; 0 3 + 6 @ par : ( ) ( ) f x e f 0 1 x = = ) ln x x x 2 2 + - si x 0 2 On note (C) sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormé (O, I, J). L’unité graphique est 4 cm. 1. a. Déterminer ( ) lim f x x" 3 + et ( ) lim x f x x" 3 + . b. Interpréter graphiquement les résultats. 2. a. Démontrer que f est continue en 0. b. Démontrer que lim x 0 " ( ) ( ) x f x f 0 - 3 =- . c. La fonction f est-elle dérivabilité en 0 ? Justifier la réponse. d. Interpréter graphiquement le résultat de la que 2.b. 3. On admet que f est dérivable sur ; 0 3 + 6 @ . a. Démontrer que : x d 6 ; 0 3 + 6 @ , ( ) ( ) f x g x = l . b. Etudier les variations de f puis dresser son tableau de variation. 4. Tracer la courbe (C) sur l’intervalle ; 0 2 6 @. (On prendra , 0 45 a = et on admettra que la courbe (C) coupe la droite (OI) en deux points d’abscisse respectives 0,3 et 0,6). 5. a. On pose K 1 2 = # ln x x dx . A l’aide d’une intégration par parties, démontrer que : ln K 2 2 = 4 3 - . b. Soit A l’aire en cm2 de la partie délimitée par la courbe (C), la droite (OI) et les droites d’équations respectives x 1 = et x 2 = . Calculer A puis donner l’arrondi d’ordre 2 du résultat. PROBLÈME 1 PRÉPA-BAC 2021 PRÉPA-BAC 2021 EXCELLENCE Group Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct (O, I, J), on désigne par K, A et B les points d’affixes respectives Z 2 1 = , Z i 4 2 2 = + et Z i 2 4 3 = + . L’unité graphique est 2 cm. 1. a. Placer les points K, A et B. b. Déterminer la forme algébrique du nombre complexe Z Z Z Z 2 1 3 1 - - . 2. On note S la similitude directe de centre K qui transforme A en B. a. Démontrer que l’écriture complexe de S est ( ) Z i 1 = + l Z i 2 - . b. Déterminer les affixes respectives des points I’ et J’ , images respectives des points I et J puis placer I’ et J’ . 3. Déterminer le rapport et une mesure de l’angle orienté de la similitude directe S. 4. Soit (C) le cercle de centre ( ; ) 1 1 X et de rayon 2. a. Tracer (C). b. Déterminer le centre et le rayon de (C’), image de (C) par S. c. Construire (C’). 5. a. Démontrer puis construire l’image par S de la droite (IJ). On pourra caractériser l’image par S de la droite (IJ) par deux de ses points. b. On désigne par E le point d’intersection de (C) et de la droite (IJ) d’abscisse négative. Placer E et l’image E’ par S. Justifier la position du point E’ . On considère la suite numérique ( ) U définie par : U 2 0 = et pour tout nombre entier naturel , n U 2 n 1 = + + U 2 1 n . EXERCICE 1 Le plan est muni d’un repère orthonormé (O, I, J). L’unité graphique est 2 cm. 1. Déterminer les valeurs exactes de U1 et U2 . 2. Soit f la fonction définie par : ( ) f x = x 2 1 2 + et de représentation graphique (D). a. Tracer (D) et la droite ( ) D d’équation y x = . b. Placer U0 sur l’axe (OI). c. A l’aide de (D) et ( uploads/S4/ bac-mathematiques.pdf