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Université Mentouri Constantine Mr LATELI Ahcene Fonctions réelles d'une variab

Université Mentouri Constantine Mr LATELI Ahcene Fonctions réelles d'une variable réelle Octobre 2018 2.0 Légende  Entrée du glossaire  Abréviation  Référence Bibliographique  Référence générale Table des matières I - Chapitre II :Limites et Continuité 5 A. Limite d'une fonction.....................................................................................5 1. Théorème d'Encadrement...................................................................................................6 2. Formes indéterminées.......................................................................................................7 3. Cas d'une fonction bornée..................................................................................................7 4. Limite d'une fonction composée..........................................................................................7 B. Exercice.......................................................................................................7 C. Exercice.......................................................................................................8 D. Continuité d'une fonction...............................................................................8 1. La continuité à droite et à gauche........................................................................................8 2. Opérations sur les fonctions continues...............................................................................10 3. Continuité d'une fonction composée...................................................................................11 4. Prolongement par continuité.............................................................................................11 5. Théorèmes sur les fonctions continues...............................................................................12 6. Fonctions réciproques (ou inverses)...................................................................................16 E. Évaluation formative....................................................................................16 1. Calcule des limites...........................................................................................................16 2. La continuité..................................................................................................................16 3. Applications de continuité.................................................................................................17 Questions de synthèse 19 Glossaire 21 Bibliographie 25 Webographie 27 Mr. LATELI Ahcene 3 I - Chapitre II : Limites et Continuité I Limite d'une fonction 5 Exercice 7 Exercice 8 Continuité d'une fonction 8 Évaluation formative 16 A. Limite d'une fonction Une partie est un voisinage de s'il contient un intervalle ouvert de contenant . Notons par ou l'ensemble des voisinages du point . Ainsi, on peut reformuler les termes de la définition précédente de la manière suivante : . Définition On dit qu'une fonction définie au voisinage du point , sauf peut-être au point , admet une limite (finie) en , si : . On écrit dans ce cas, . Remarque 1. , c'est-à-dire . 2. , c'est-à-dire . 3. Si est définie en alors . Exemple Considérons la fonction qui est définie sur . Au point , on a . En effet, pour tout , on a si l'on a, Mr. LATELI Ahcene 5 à fortiori, . Le bon choix sera alors de prendre . Complément : Unicité de la limite Si admet une limite au point , cette limite est unique. Définition : Limite à gauche et limite à droite Soit une fonction définie sur un intervalle .  On dit que admet une limite à gauche en si, et seulement si : . On note ou .  On dit que admet une limite à droite en si, et seulement si : . On note ou . Remarque  Si et avec , alors n'admet pas de limite en .  Si . Exemple Soit la fonction définie sur par . On remarque que et , alors la limite de quand tend vers n'existe pas. Définition : Opérations sur les limites Soient , et un point d'accumulation de . Supposons que et , alors on a: 1. . 2. . 3. Si de plus, et au , . 4. , . 5. . 1. Théorème d'Encadrement Soient , et un point d'accumulation de . Supposons que et , alors on a : 1. Si alors . 2. Si sur et alors . 3. Si sur et alors . Chapitre II :Limites et Continuité Mr. LATELI Ahcene 6 2. Formes indéterminées Dans le calcul des limites, on appelle Forme Indéterminée (on note ), toute situation qui conduit à un cas où les théorèmes portant sur les opérations sur les limites ne permettent pas de conclure. Les formes indéterminées les plus courantes sont : , , , , , , , , etc... 3. Cas d'une fonction bornée Théorème Si on a et s'il existe un réel et un voisinage de tels que pour tout appartenant à ce voisinage (autrement dit si est bornée sur un voisinage de ), alors . 4. Limite d'une fonction composée Notations On désigne par l'intervalle . On considère une fonction admettant pour limite en . On considère d'autre part une partie non vide de et une fonction admettant pour limite en (cela suppose que tout voisinage de rencontre ). On suppose de plus que : la fonction composée est alors bien définie sur . On a alors Définition : Composition des limites Avec les notations introduites ci-dessus, supposons que et que . Alors . B. Exercice Trouver la limite suivante ou dire si elle n'existe pas. 0 n'existe pas -1 1 Chapitre II :Limites et Continuité Mr. LATELI Ahcene 7 C. Exercice La limite est : une forme indéterminée du type . 0 n'existe pas. 1 D. Continuité d'une fonction Définition Soit . On dit que la fonction est continue au point si tend vers , quand tend vers pour tout , ce qui s'écrit . Si est continue en tout point de , nous dirons que est continue sur . Remarque  Intuitivement, une fonction , définie sur un intervalle où et sont des réels tels que , est continue sur  si l'on peut tracer son graphe (sa courbe représentative) sans lever le crayon.  La fonction est continue en si, et seulement si : 1. La continuité à droite et à gauche 1. On dit est continue à droite en si et seulement si : . 2. On dit est continue à gauche en si et seulement si : . Remarque 1. On remarque que est continue en si et seulement si est continue à droite et à gauche en . 2. On dit est continue sur l'intervalle si et seulement si est continue en tout point de . 2. Opérations sur les fonctions continues  Soit , soient . Si et sont continues sur , alors les fonctions Chapitre II :Limites et Continuité Mr. LATELI Ahcene 8 , , pour tout , et sont continues sur .  Si de plus, ne s'annule pas sur alors les fonctions et sont continue sur . Exemple 1. La fonction est définie et continue sur . 2. Les fonctions polynômes sont continues sur tout . 3. Les fonctions trigonométriques sinus et cosinus sont continues sur . 3. Continuité d'une fonction composée Soient et . On suppose que (de sorte que est définie sur ). Soit . On suppose que est continue en et est continue en . Alors, est continue en . 4. Prolongement par continuité Soit et un réel. Nous supposons que la fonction n'est pas définie en mais admet une limite en . Nous posons alors la fonction définie sur par : . La fonction est continue en et s'appelle le prolongement par continuité de en . Exemple La fonction est définie sur , comme alors admet un prolongement par continuité définie sur par . 5. Théorèmes sur les fonctions continues a) Théorème des valeurs intermédiaires Définition : Théorème 1 Soit , et une fonction continue de dans . Alors, la fonction prend toutes les valeurs comprises entre et , (c'est-à-dire que pour tout appartenant à l'intervalle dont les bornes sont et , il existe tel que ). ( Autrement dit : l'équation admet au moins une solution dans ). Chapitre II :Limites et Continuité Mr. LATELI Ahcene 9 Définition : Théorème 2 ( Cas des fonctions strictement monotones ) Soit une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle et avec . Pour tout réel compris entre et , il existe un unique réel de tel que . b) Théorème 3 ( Théorème de Bolzano ) Si la fonction est continue sur l'intervalle et si , il existe alors au moins un point un tel que . Remarque 1. Si est strictement monotone sur , le point est unique. 2. Si est continue sur un intervalle , alors est un intervalle. 3. Si est continue sur un segment , alors est un segment. Exemple Montrez que l'équation admet au moins une solution entre 1 et 2. Posons , est une fonction de polynôme , donc elle est définie et continue sur . De plus on a . Dans ces conditions, le théorème de la valeur intermédiaire affirme l'existence d'un nombre entre et tel que . Autrement dit, l'équation a au moins une solution dans l'intervalle . c) Théorème 4 ( Théorème du point fixe ) Soit une fonction continue sur un intervalle . Si , alors admet (au moins) un point fixe sur . (C'est-à-dire : il existe (au moins) un réel de tel que ). 6. Fonctions réciproques (ou inverses) Si est une fonction continue et strictement croissante (resp. Chapitre II :Limites et Continuité Mr. LATELI Ahcene 10 Image 1 Bernhard Bolzano strictement décroissante), alors est une bijection de vers l'ensemble d'arrivée (resp. ). La bijection réciproque est continue et strictement croissante (resp. décroissante). E. Évaluation formative Objectifs Tester la compréhension 1. Calcule des limites Compréhension Q u e s t i o n Trouver les limites suivantes ou dire si elles n'existent pas. 1. . 2. . 3. . 4. . 2. La continuité Compréhension Q u e s t i o n 1 Étudier la continuité de fonction suivante en : . Q u e s t i o n 2 Étudier la continuité sur le domaine de définition de la fonction : 3. Applications de continuité Prolongement par continuité Montrer que les fonctions suivantes définies sur sont continues sur et dire si on peut les prolonger par continuité sur . Q u e s t i o n 1 . Chapitre II :Limites et Continuité Mr. LATELI Ahcene 11 uploads/S4/ chapitre-2-etudiants.pdf