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274 Introduction à l'automatique décembre 2010 CORRIGÉ DES EXERCICES RELATIFS A

274 Introduction à l'automatique décembre 2010 CORRIGÉ DES EXERCICES RELATIFS AU CHAPITRE 4 : SYNTHÈSE HARMONIQUE DES RÉGULATEURS CONTINUS. Exercice 1: a) La réponse indicielle est donnée par . La transformée de Laplace de celle-ci: . La transmittance isomorphe est donc donnée par . b) Considérons d'abord le tracé asymptotique de Bode de la transmittance F(p) sans le temps mort: - le pôle intégrateur conduit à une droite de pente -20 dB/déc qui s'accroche en au niveau de la caractéristique de gain; la caractéristique de phase, à basse fréquence, est quant à elle, constante à -90/; - le zéro, en , induit une remontée de la caractéristique de gain de +20 dB/déc à partir de ; à la même fréquence, la phase passe de -90/ à 0/. Les courbes de Bode (ainsi que leur tracé asymptotique) sont donnés ci-dessous. Pour tenir compte du temps mort, on pourrait introduire l'approximation de Padé . Le zéro non hurwitzien et le pôle hurwitzien en introduisent alors chacun un déphasage de -90/ au niveau du tracé asymptotique de la caractéristique de phase. La caractéristique de gain n'est, quant à elle, pas modifiée puisque l'effet du zéro (+20 dB/déc) et celui du pôle (-20 dB/déc) se compensent. Les courbes de Bode (et leur tracé asymptotique) deviennent alors 275 Introduction à l'automatique décembre 2010 Cependant, l'approximation réside dans le fait que le déphasage introduit par le temps mort ne dépasse pas -180/ alors qu'en réalité la phase du temps mort est donnée par et ne cesse donc de décroître à mesure que la fréquence augmente. Les courbes de Bode réelles sont finalement données ci-dessous. c) 1) Le gain est infini à fréquence nulle du fait de la présence du pôle intégrateur. 2) Le gain est fini et différent de zéro à haute fréquence car le système est à la limite de propreté ( ). 3) La phase est sans cesse décroissante à haute fréquence du fait de la présence du temps mort. d) Le système réglé possède un pôle intégrateur. On peut donc en conclure que - l'astatisme de conduite et de perturbation amont seront tous deux assurés (du moins pour un signal de référence et un signal de perturbation en échelon); - l'astatisme vis-à-vis d'une perturbation aval ne serait assuré qu'en ajoutant un pôle intégrateur au niveau du régulateur. Exercice 2: 276 Introduction à l'automatique décembre 2010 a) Les règles du tracé asymptotique nous indiquent que - à basse fréquence le gain est constant ( ) et la phase vaut 0/; - à partir de , le zéro hurwitzien fait augmenter la caractéristique de gain de +20 dB/déc et fait augmenter la phase de 90/; - à partir de , le pôle hurwitzien fait diminuer le gain de -20 dB/déc et la phase de 90/. Les courbes de Bode, ainsi que leur tracé asymptotique, figurent ci-dessous: b) La courbe de Nyquist complète correspond donc à un cercle dans le plan complexe. Remarquons que le demi-cercle supérieur correspond à la courbe de Nyquist classique (fréquences positives). 277 Introduction à l'automatique décembre 2010 En effet, les courbes de Bode nous indiquent bien que l'évolution de la phase en fonction de la fréquence est telle que la courbe sera toujours située dans le premier quadrant. La courbe se termine en (3, 0) (pour ) puisque le système envisagé est à la limite de propreté. Recherchons l'équation analytique du cercle: De la première équation paramétrique nous déduisons et, en injectant ce résultat dans la seconde équation, on obtient soit un cercle de rayon unitaire centré en (2,0). c) Le critère de Nyquist nous indique que où est le nombre de pôles strictement non hurwitziens de la boucle fermée, est le nombre de pôles strictement non hurwitziens de la boucle ouverte et est le feuillet du point (-1, 0) par rapport à la courbe de Nyquist complète. Dans notre cas, nous avons et pour autant que . Le système de régulation sera donc stable ( ) pour autant que . Exercice 3: Soit . a) Traçons les courbes de Bode pour K=1. Le tracé asymptotique se base sur les points suivants: - le pôle intégrateur justifie la présence, au niveau de la caractéristique de gain à basse fréquence, d'une droite de pente -20 dB/déc qui s'accroche à l'axe des fréquences en . La phase est quant à elle constante à -90/; - le zéro non hurwitzien provoque une remontée de la caractéristique de gain de 20 dB/déc à partir de ; la caractéristique de gain devient donc constante à partir de cette fréquence. La phase diminue de 90/; - enfin, le pôle hurwitzien fait diminuer la caractéristique de gain de -20 dB/déc à partir de ; la phase diminue donc encore de 90/. 278 Introduction à l'automatique décembre 2010 On obtient finalement les courbes de Bode suivantes: b) Les courbes de Bode nous indiquent: - la présence d'une asymptote verticale due à la présence du pôle intégrateur. Recherchons la position de cette asymptote: ; - une intersection avec l'axe réel (car la caractéristique de phase passe par -180/): ; - la courbe se termine (pour ) à l'origine (car BO(p) est strictement propre) et tangente à la direction -270/ (voir caractéristique de phase). Enfin, il nous reste à rechercher l'image par la transmittance BO(p) de la partie en demi-cercle du contour de Nyquist visant à exclure de celui-ci le pôle à l'origine: avec soit un demi-cercle de rayon infini et tournant cette fois dans l'autre sens. 279 Introduction à l'automatique décembre 2010 On obtient finalement la courbe de Nyquist complète suivante pour K=1 (où l'on n'a pas représenté le demi-cercle de rayon infini qui referme la courbe à droite de l'asymptote verticale): Par application du critère de Nyquist, on constate immédiatement que, pour K=0,1, on a et donc le système de régulation est stable pour cette valeur de K. c) Le seul élément qui sera modifié sera l'image du demi-cercle à l'origine pour lequel on a cette fois . L'image sera donc toujours un demi-cercle de rayon infini mais qui se referme cette fois à gauche de l'asymptote verticale. Le critère de Nyquist s'écrira alors et l'on aboutit bien aux mêmes conclusions. d) En effet, on peut dans ce cas encore amplifier le gain d'un facteur 2 (ce qui provoque une homothétie de la courbe de Nyquist d'un même facteur 2) avant que le système en boucle fermée n'entre en instabilité. Exercice 4: Soit 280 Introduction à l'automatique décembre 2010 . a) La marge de gain se lit à la pulsation telle que . Pour avoir , il faut donc que Vérifions si l'autre spécification est respectée ( ). La marge de phase se lit à la pulsation telle que . On a donc . Les spécifications sont donc bien réalisables pour . b) . Vérifions si l'autre spécification est respectée ( ). . Les spécifications sont donc irréalisables. c) Il est évident que les spécifications envisagées dans ce cas ( et ) sont irréalisables puisque nous avons vu (cas a) que lorsque alors . d) . Vérifions si l'autre spécification est respectée ( ). . Les spécifications sont donc bien réalisables pour . Exercice 5: a) Le tracé asymptotique se base sur les remarques suivantes: - le gain statique est négatif ( ); lorsque la fréquence tend vers zéro, l'on aura donc un gain de -6 dB et une phase de 180/ (ou -180/); - en , l'effet du zéro non hurwitzien fait augmenter le gain de 20 dB/déc et fait 281 Introduction à l'automatique décembre 2010 diminuer la phase de 90/; - en , l'effet d'un pôle non hurwitzien fait diminuer le gain de 20 dB/déc et fait augmenter la phase de 90/; - idem en . Les courbes de Bode sont donnnées ci-après. b) Les courbes de Bode nous indiquent: - la courbe de Nyquist part du point (-K/2, 0) à fréquence nulle et termine au point (0, 0) à fréquence infinie avec une pente de 270/; - la courbe de Nyquist est décrite par un vecteur dont le module commence par augmenter au sein du quatrième quadrant, puis passe dans le troisième quadrant en augmentant toujours en module (il y a donc eu au passage un point d'intersection avec l'axe réel) et ensuite voit son module diminuer pour terminer à l'origine (cf. point précédent); - recherchons le point d'intersection avec l'axe réel: Pour K=1, le point d'intersection se trouve donc en (-10/9, 0). 282 Introduction à l'automatique décembre 2010 La courbe de Nyquist complète est finalement donnée ci-dessous. c) L'application du critère de Nyquist conduit à . Il faut donc que le point (-1, 0) soit situé entre les points (-10K/9, 0) et (-K/2). L'intervalle de K correspondant à un système stable est donc donné par . De plus, et le système comporte donc deux pôles instables en boucle fermée. Enfin, et le système comporte donc un pôle instable en boucle fermée. d) Pour K=1,5, l'on constate au vu des résultats présentés au point précédent, que l'on peut - amplifier le gain K d'un facteur 2/1,5 uploads/S4/ corrige-chap4.pdf