Théorie dArbitrage pour le Pricing des Options Européennes Abdelali Gabih 29.
Théorie dArbitrage pour le Pricing des Options Européennes Abdelali Gabih 29. November 2010 0.1 Introduction Ce cours est une introduction aux techniques probabilistes utilisées en nance. Il est issu dun cours en industrie nanciere enseigné à lEcole Nationale des Sciences Appliquées de Marrakech et à la faculté dEconomie de luniversité de Marrakech. La developpement de ce cours est basé sur les deux ouvrages [1] et [3] auquel on refére pour plus dapprofondissement. Dans ce cours on présente la théorie darbitrage utilisée pour la détermina- tion des prix des contrats nanciers. Cependant on va étudier notre marché nancier dans le cadre du modèle binomial qui est du point de vue théorique le plus simple et non trivial modèle pour un marché nancier; cest un modèle à temps discret trés facile à comprendre, et pour lanalyser on a pas besoin dune thérie mathématique trés développée, just le baguage mathématique du niveau Baccalauréat !!!!! reste a signaler que le modèle binomial est souvent adapté en pratique. Un marché nancier doit être compris par la donnée dun nombre de contrats qui donnent à leurs porteurs des droits et demandent des obligations en ef- fectuant des opérations dachat où de vente de certains actifs nanciers. Les prix de ces actifs nanciers (action par exemple) sont toujrous exposés à des uctuations aléatoires, ainsi le point de départ est de les modèliser mathé- matiquement par une équation mathématique adèquate compatible avec les principes économiques . Ce cours porte principalement sur le problème des dérévatives nancieres con- sidéré comme le moteur de la théorie et reste lexemple le plus frappant de lapplication du calcul stochastique en nance. En nance un contrat (dériva- tive nancieres) est un fond nancier pour lavoir on doit payer un prix à son proprietiare. La détermination de ce prix (accord entre acheteur et vendeur) est le point prémordial dans l etude du marché nancier. Ce prix précise dune facon décesive comment chacun de lacheteur et le vendeur du contrat va exploiter les droits donnés par le contrat, et comment chacun deux peut éviter les risques de ces obligations. En terme nancier la détermination du prix du contrat sappelle Pricing òu Evaluation du contrat, cest un parmi les problemes les plus etudiés en mathématiaques nancieres. Avant de sintroduire à la dé nition formelle du concept de la dérivative - nanciere, on présente dans un exemple concrèt la dérivative nanciere la plus importante et qui est largement utilisée en modélisation nanciere, il sagit de: Option européenne call. On considére la compagnie marocaine Marjane qui a signé aujourdhuit(t = 0) un contrat avec la compagnie américaine Macintoch. Le contrat stipule à ce que Macintoch va délivrer 1000 computers à Marjane exactement après six mois daujourdhuit (cad dans t = T). de plus le contrat stipule que Marjane va payer pour le Macintoch au moment de délivrance (cad dans t = T) 1000 US dollars pour le pc. A titre dargumentation, on suppose que le taux dechange entre le dirhame marocain et le dollar américain est 8, 00dh/usdollar. Un des problemes de ce contrat du point du vue de Marjane est que ca dégage au moment de délivrance un risque trés considérable de devise (currency) puisque Marjane ne sait pas maintenant (á t = 0) combien va être le taux déchange entre le dirham marocain et le dollar dici six mois, cela veut dire que Marjane ne sait pas combien de dirham va payer à t = T. Si par exemple le taux dechange reste à 8, 00dh/usdollar elle va payer 8.000.000, 00dh, mais si par exemple au moment de délivrance t = T le taux augmente à 8, 5dh/usdollar la compagnie va payer 8.500.000, 00dh. Ainsi la compagnie Marjane confronte le probleme coment se protéger contre le risque de la devise. Dans la suite on présente un nombre de stratégies naturelles pour ce probleme. 1 La stratègie la plus naive à suivre par Marjane peut être lachat de 1.000, 000 us dollars, aujourd huit au prix de 8.000.000 dh, et après dé- poser cette somme dans un compte bancaire en dollars pour six mois. Lavantage de cette procedure est bien sur lelimination complète du risque de la devise, cependant il y a des inconvinients: On bloque une grande somme pour longue période. Marjane na pas acces à 8.000.000, 00 dh durant toute la période et surout Marjane doit disposer a t = 0 dune somme payable aprés six mois 2 une stratègie plus sophèstiquée qui necessite aucun capital initial à t = 0 (contraiment à la stratègie bancaire qui necessite davoir t = 0 un capitale de 8.000.000, 00 dh ) est que la compagnie Marjane sinscrit dans ce qu on appelle marché ultérieur (forward market) et achèt ce qu on applle contrat ultérieur (forward contract): Ce contrat permet á Marjane davoir dici six mois 1.000.000, 00 us dollars, le contrat forward peut etre négocier avec une banque comerciale et stipule essentiellement deux points: la banque va délivrer au future (à t=T) 1.000.000, 00 us dollars à Marjane. la compagnie Marjane va payer (à t=T) pour cette opération de délivrance de 1.000.000, 00 us dollars le taux de Kdh/dollar Le taux déchange K sappelle le prix ultérieur (forward price) deter- miné à t = 0 pour la délivrance de 1000.000 dollars à t = T. Il est important de signaler que les contrats nanciers sont souvent cotés sur un marché nancier qui les organisent. Pour les contrats utlérieurs on paye rien pour les signer à t = 0, cependant il faut noter que même si le prix de signer le contrat est égal à zéro, le contrant en tant que fond nancier a un prix le long de lintervalle du temps [0, T]. Supposons maintenant que aujourdhuit (cest à dire à t = 0) le prix ul- térieur (le taux déchange ultérieur) pour la délivrance après six mois est égal à 8, 1dh/dollar. Si Marjane signe aujourdhuit le contrat cela veut dire que la compagnie na pas besoin à t = 0 de disposer dun capitale initial et que dans six mois elle va obtenir 1000.000 de dollars au prix prédeterminé de 8.100.000 dh.et bien sur la compagnie a complétement évité le risque de la devise. Cependant les contrats ultérieurs ont comme tous les contrats nanciers des inconvinients. Pour bien voir ca analysons deux diérents possibles scénarios. • Scénario 1 si le taux déchange eectif ( du marché) à (t=T) égal à 8.2. Dans ce cas la compagnie se trouve dans une meilleure situation, elle achète un dollars au prix de 8.1 dh bien que le taux déchange du marche est 8.2: avec ce contrat la compagnie va faire le pro t de −8100.000, 00 | {z } achat à 8, 1 + 8200.000, 00 | {z } vente à 8, 2 = +100.000, 00dh • Scénario 2 si à t = T le taux déchange eectif est égale à 7.2. Dans ce cas le contrat oblige la compagnie dachat à t = T le dollar à 8, 1 bien que le taux déchange du marché est 7, 9 ce qui lui entraine une perte de −8100.000, 00 | {z } achat à 8, 1 + 7900.000, 00 | {z } vente à 7, 9 = −200.000, 00dh Devant ces deux scénarios notre compagnie Marjane aimerait bien reformuler un autre contrat qui la protège à t = T contre les taux déchange bats et en même temps lui permet davoir lavantage en cas de taux déchange élevés. Ce type de contrats existent et sappellent: options européennes call (european call options). On est maintenant en mesure de donner la dé ntion formelle de ces contrats: De nition 0.1.1 une option européenne call sur le montant X dollars avec le prix dexercice (strike price) Kdh/dollar et la date dexercice (où décheance, marturity) T est un contrat écrite à t = 0 avec les propriétés suivantes: 1 lacheteur du contrat a le droit dacheter à t = T exactement X dollars au prix Kdh/dollar. 2 lacheteur du contrat na aucune obligation dacheter à t = T les dollars. (si cest pas gagnant pour lui). Remarque 0.1.2 1) en terminologie économique lappelation option au lieu de contrat vient du fait quelle donne à son porteur (son acheteur) loption (le choix) (contrairement à lobligation) dacheter lactif sous- jacent sur le quel porte loption. (Dans notre cas cest la devise US dollars). 2) contrairement à loption call, loption Put donne à son porteur le droit de vendre lactif sous-jacent à un prix prédeterminé. 3) le pré xe europèen veut dire que loption ne peut être exercée quà la date décheance T. Cependant il y a le marché des options américaines qui ont sont plus exibles et donnent à leurs porteurs le droit de les exercer à nimporte quelle date t avant leurs date decheance T. Des options de ce type sont (traded) dans des marchés des options partout dans le monde. 4) lactif sous-jacent peut être devise (comme dans notre exemple) òu bien actions, les oranges etc. Notons uploads/S4/ cours-d-arbitrage-pour-le-pricing.pdf
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- Publié le Sep 12, 2022
- Catégorie Law / Droit
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