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1Suite On considère la suite numérique    1 0 ) 1 ln( dx x I n n avec IN

1*Suite On considère la suite numérique    1 0 ) 1 ln( dx x I n n avec * IN n  et x0 1- Calculer 0 I et 1 I 2- Montrer que 0  n I , pour tout n 3- Montrer que la suite ( n I ) est décroissante. 4- En déduire que cette suite est convergente. 5- Soit la fonction x x x f    ) 1 ln( ) ( où x est un réel dans l'intervalle [0,1]. a- Etudier les variations de ) (x f sur [0,1] b- Déduire que ) (x f 0  et que n n x x   ) 1 ln( c- Déduire la limite de ( n I ). 2*Fonction de la borne supérieure A- On considère la fonction 1 ) ( 2   x x f où x est un réel. 1- Calculer x x f et x f x x      ) ( lim ) ( lim et donner une interprétation graphique des résultats. 2- Calculer x x f et x f x x      ) ( lim ) ( lim et donner une interprétation graphique des résultats. 3- Etudier les variations de ) (x f et dresser le tableau de variations. 4- Tracer le graphe ( ) de ) (x f dans un repère orthonormé. B- Soit la fonction   x dt t f x F 1 ) ( ) ( où x est un réel, et (C) son graphe dans un repère orthonormé 1- Etudier le signe de ) (x F 2- Utiliser le graphe ( ) pour donner une valeur approchée de  1 0 ) ( dt t f . Dans la suite on prendra b F  ) 0 ( avec 1478 , 1   b 3- a)Montrer que ) ( 2 ) ( x F b x F    . Que représente le point I(0,b) pour (C). b) Ecrire une équation de la tangente en I à (C). 4- Montrer que si t>0 alors t t f  ) ( et en déduire x x F et x F x x ) ( lim ) ( lim     et donner une interprétation graphique des résultats. 5- Calculer x x F et x F x x ) ( lim ) ( lim     et donner une interprétation graphique des résultats. 6- Montrer que b F 2 ) 1 (   et tracer (C). 7- a) Montrer que )] 2 1 ln( 2 ) 1 ln( 1 [ 2 1 ) ( 2 2         x x x x x F . b) En déduire que si 1  x alors 1 2 ) 2 1 1 ln( 2 2       x x x x . 3*Parabole et ellipse. Soit (d) une droite et O un point du plan tel que la distance de O à (d) est égale à 4cm. 1- Trouver l'ensemble des points F foyers des paraboles passant par O et de directrice (d). 2- On considère le système orthonormé (x'Ox,y'Oy) tel que (x'Ox) est perpendiculaire à (d) et (y'Oy) est parallèle à (d) et (d) est d'équation x=-4 dans ce repère. a- Ecrire une équation de l'ensemble des points F déjà trouvé. 1 b- Ecrire une équation de l'ensemble (E) des points S sommets des paraboles. c- Quelle est la nature de l'ensemble (E).Trouver son centre et son axe focal. Tracer (E). d- Trouver les sommets, les foyers et les directrices de (E) et calculer son excentricité Et son paramètre. 4-Logarithme et suite: A-Soit la fonction f définie sur IR par ) 1 ln( 1 ) ( 2     x x x f et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé. 1- Calculer ) ) ( ( lim ) ( lim ) ( lim x x f et x x f et x f x x x        et donner une interprétation graphique des résulta 2- Calculer ) ) ( ( lim ) ( lim ) ( lim x x f et x x f et x f x x x        et donner une interprétation graphique des résulta 3- Montrer que ) (x f est croissante. 4- Déterminer une équation de la tangente (T) au point d'abscisse 0. 5- Montrer que l'équation ) (x f =0 admet une seule racine notée 1 x , et que 0< 1 x <1. 6- Tracer (T) et la droite (d) d'équation y=x et (C). 7- Calculer en fonction de 1 x l'aire du domaine limité par (x'x), (y'y), et la courbe (C). B- On considère la fonction n f définie sur IR par * 2 , ) 1 ln( 1 ) ( IN n n x x x f n      1- Montrer que ) (x f n est croissante. 2- Montrer que l'équation 0 ) (  x f n admet une seule solution notée n x et que 0< n x <1. 3- Soit la suite * , ) ( IN n x n  , Montrer que 0 ) ( ) ( 1    n n n n x f x f et en déduire que cette suite est croissante. 4- Montrer que cette suite est convergente. 5- Calculer sa limite. 5- Suite convergente: Soit la suite ) ( n u définie sur * IN par         n n k n n n n k u 2 2 1 ... 1 1 1 1 A- 1) Montrer que ) 1 2 )( 2 2 ( 2 3 1        n n n n u u n n et déduire le sens de variations de ) ( n u . 2) Montrer que ) ( n u est convergente. B- Trouvons la limite de cette suite. Soit la fonction 0 , ) 1 ln( 1 ) (     x x x x x f 1) a- Justifier que      1 1 1 1 1 n n n dx x n b- Vérifier que     1 ) ( 1 1 n n n f n dx x c- En déduire que ) 1 ( 1 ) ( 0    n n n f 2) Soit la suite ) ( n S définie par     n n k n k k S 2 ) 1 ( 1 a- Montrer que n S n f n f n f       ) 2 ( ... ) 1 ( ) ( 0 2 b- Déterminer a et b tels que pour tout x différent de 0 et de 1 on a: 1 ) 1 ( 1     x b x a x x c- En déduire que ) 1 2 ( 1    n n n Sn et déterminer     n n k n k f 2 ) ( lim d- Vérifier que ) 1 2 ln( ) ( 2 n u k f n n n k      e- Déterminer la limite de ) ( n u . 6- Logarithme et exponentielle et accroissements finis: Partie A: le but de cette partie est d'étudier la fonction f définie sur [ , 0 ]  par x x x x f ln 2 ) (   (C) est la courbe représentative de f dans un repère orthonormé d'unité 2cm. 1- Etudions la fonction auxiliaire g définie sur [ , 0 ]  par x x x g ln 2 2 ) ( 2    a- Etudier le sens de variation de g et calculer g(1) b- Déduire le signe de g. 2- a- Calculer les limites de f en 0 et en + b- Etudier les variations de f et dresser le tableau de variations. c- Montrer que la droite (d): y=x est asymptote à (C) et étudier la position de (C) par rapport à (d). d- Trouver le point A de (C) sachant que la tangente (T) en A à (C) est parallèle à (d). e- Tracer (d),(T) et (C). 3- Calculer en 2 cm l'aire du domaine limité par (C) , (d) et x=1 et x=e. 4- Montrer que l'équation 0 ) (  x f admet une seule solution 0 x et vérifier que 1 2 1 0  x . Partie B: Trouvons une valeur approchée de 0 x On désigne par h la fonction définie sur [ , 0 ]  par 2 2 ) ( x e x h   1- Montrer que 0 x est l'unique solution de l'équation uploads/S4/ problem-es 1 .pdf