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Devoir surveillé de mathématiques Terminales S – Spécialité Mercredi 16 décembr

Devoir surveillé de mathématiques Terminales S – Spécialité Mercredi 16 décembre 2009 Durée : 1 heure (Durée totale : 3 heures 30) L’usage d’une calculatrice est autorisé. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Exercice 1 Partie A On considère l’équation (E) : 11x −26y = 1, où x et y désignent deux nombres entiers relatifs. 1. Résoudre l’équation (E). 2. En déduire le couple d’entiers relatifs (u ;v) solution de (E) tel que 0 É u É 25. Partie B On assimile chaque lettre de l’alphabet à un nombre entier comme l’indique le tableau ci-dessous : A B C D E F G H I J K L M 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 N O P Q R S T U V W X Y Z 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 On « code » tout nombre entier x compris entre 0 et 25 de la façon suivante : – on calcule 11x +8 – on calcule le reste de la division euclidienne de 11x +8 par 26, que l’on appelle y. x est alors « codé » par y. Ainsi, par exemple, la lettre L est assimilée au nombre 11 ; 11×11+8 = 129 or 129 ≡25(modulo 26) ; 25 est le reste de la division euclidienne de 129 par 26. Au nombre 25 correspond la lettre Z. La lettre L est donc codée par la lettre Z. 1. Coder la lettre W. 2. Le but de cette question est de déterminer la fonction de décodage. a. Montrer que pour tous nombres entiers relatifs x et j, on a : 11x ≡j (modulo 26) équivaut à x ≡19j (modulo 26). b. En déduire un procédé de décodage. c. Décoder la lettre W. Exercice 2 n étant un entier relatif quelconque, on considère a et b déﬁnis par a = n3 −2n +5 et b = n +1. 1. Montrer que PGCD(a;b) = PGCD(b;6). 2. Pour quelles valeurs de n a-t-on PGCD(a;b) = 3 ? 3. Déterminer n pour que le nombre a b soit un entier relatif. Spécialité – 1/1 uploads/S4/ devoir-de-revision-n03-lycee-pilote-avec-correction-math-bac-mathematiques-2015-2016-mr-amine-touati.pdf