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************* Devoir de synthèse N° Durée : Heurs *

*************************** Devoir de synthèse N° Durée : Heurs ***************** Épreuve : Mathématique Math A-S : Le sujet comporte 4 pages numérotées de 1/4 à 4/4 La page 4/4 est à rendre avec la copie Exercice N°1 :( 2+2 pts) I / Pour chacune des questions suivantes une seule des trois réponses proposées est exacte L’élève indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie Aucune justification n’est demandée 1°) Soit A un point du plan alors l’application est une similitude directe d’angle : -a/ - b/ -c/ 2°) Le reste de la division euclidienne de par est : -a/ -b/ -c/ 3°) Soit -a/ -b/ -c/ 4°) est : -a/ - b/ -c/ II/ Répondre par vrai ou faux en justifiant : 1°) La fonction definie par est strictement croissante sur 2°) Le similitude directe admet un centre si et seulement si de rapport différente à Exercice N°2 :( 2+2 pts) NB : les deux parties sont indépendantes I / Soit n un entier naturel 1°)-a/ Discuter suivant les valeurs de n les restes modulo 6 des entiers naturels -b/ Montrer que l’entier est divisible par 6 2°)-a/ Montrer par récurrence que pour tout IN* -b/ Pour tout IN* on pose Montrer que II/ 1°) Soit dans l’équation Résoudre l’équation 2°) Soit N un entier vérifiant le système -a/ Montrer que N est une solution du système (S) si et seulement si -b/ Verifier que est une solution du système (S) -c/ En déduire que est divisible par Exercice N°3 :( 5 pts) Soit ABCD un rectangle de centre O tel que AB= et AD= et On considère les points I et J les milieux respective des segments et 1°) Soit f la similitude directe telle que f(A)=I et f(B)=C -a/ Déterminer le rapport et l’angle de f -b/ Montrer que f(C)=D 2°) Déterminer f((AD)) et f((CD)) en déduire f(D) 3°) Soit Ω le centre de f , montrer que Ω appartient aux droites (BC) et (JC) 4°) Soit g la similitude indirecte telle que g( I )=C et g(C)=K -a/ Déterminer le rapport de g -b/ Soit le centre de g et son axe , caractériser g0 g en déduire que -c/ Déterminer et construire l’axe de g 5°) On pose -a/ Déterminer -b/ Déterminer la nature et éléments caractéristiques de Exercice N°4 :( 7 pts) I/ Soit g la fonction definie sur IR par et sa courbe représentative de g dans un repère orthonormé (Voir figure page 4/4) Soit f la fonction definie sur IR par . On désigne par C courbe représentative de g dans le même repère orthonormé 1°)-a/ Calculer ; et -b/ Dresser le tableau des variations de f -c/ Etudier la position relatif entre C et -d/ Tracer C 2°/ Soit x un réel de , M est le point de C d’abscisse x et N le point de d’abscisse x -a/ Calculer la distance MN en fonction de x -b/ Déterminer la valeur de x pour laquelle MN est maximale 3°) Soit t un réel de On considère l’aire de la partie du plan limitee par C et et les droites d’équations -a/ Calculer -b/ Déterminer II / Soit U la suite definie sur IN* par : 1°)-a / Calculer -b/ Montrer que la suite U est décroissante et qu’elle est convergente 2°)-a/ En intégrant par partie montrer que -b/ En déduire que pour tout n de IN* on a : , Calculer alors -c/ Calculer I 3°) Soit F la fonction definie sur par -a/ Montrer que F est dérivable sur et que -b/ En déduire que pour tout x par -c/ Calculer alors Une correction de devoir de synthèse N2 4 eme Math «La vie n’est bonne qu’à étudier et à enseigner les mathématiques »BLAISE PASCAL Exercice N1 : I/( Question 1 2 3 4 Réponse b a c c II/ 1°) Faux : , donc f est décroissante sur 2°) Faux : Rotation d’ongle S.D de rapport 1 admet un centre Exercice N2: I/ 1°)-a) *si On a *si On a Conclusion : n Reste de modulo -b/ On a D’où Donc est divisible par 2°)-a/ pour On a Supposons que Montrons que ? On a IN* car Conclusion IN* -b/ On a (1) (2) (3) (1) , (2) et (3) (2) On a D’où II/ 1°) On a : l’équation (E) admet au moins une solution dans On a : donc est une solution particulière de (*) et d’après le Lemme de Gauss on a : D’après (*) on a : Réciproquement : 2°) -a/ « » ; solution de (E) « » -b/ On a D’ou solution de (S) Exercice N3: 1°) f(A)=I et f(B)=C -a/ Soit k le rapport de f On a car I=B*C Soit l’angle de f Donc -b/ On a f(C)=D 2°)*f((AD)) est une droite perpendiculaire à (AD) qui passant par f(A)=I (f est une S-D d’angle ) Donc f(AD)=(IJ) *f((CD))est une droite perpendiculaire à (CD) qui passant par f(C)=D(f est une S-D d’angle )Donc f(CD)=(AD) 0n a (AD) (CD) (AD)) (CD)) (IJ) (AD)= 3°) On est S-D de centre Ω ,d’angle et de rapport :une homothétie du centre Ω et de rapport Ω (BD) Ω (CJ) 4°) g S-I tel que g(I)=C et g(C)=K -a/ Soit k le rapport de g , -b/ g S-I de rapport donc est une homothétie de centre W et de rapport On a I=A*K -c/ On a le centre de g ; l’axe de g et g(I)=C donc est la porteur de la bissectrice intérieur de l’angle (construction voir figure) 5°) -a / : c’est la compose d’une S-D de rapport et d’une S-I de rapport donc est une S-I de rapport D’où : un antidéplacement Exercice N4: 1°)-a/ -b/ On a f est dérivable sur IR , -c/ Position relatif entre C et C C Pt d’inte I(1,1) -d/ * C admet une tangente horizontale au point(1,1) * la droite d’équation est une A-H de C au voisinage de * donc C au voisina admet une B-P-I de direction celle de au voisinage de uploads/S4/ devoir-de-synthese-2-bac-math-3.pdf