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ECOLE WILLIAM PONTY DEVOIR DE MATHEMATIQUES TC (2 H 30) PROBLEME On désigne par

ECOLE WILLIAM PONTY DEVOIR DE MATHEMATIQUES TC (2 H 30) PROBLEME On désigne par f l’application définie par tout x strictement positif par 2 ( ) ( 1 ln ) (0) 0 f x x x x et f     PARTIE I 1°) a) Déterminer Df ,ensemble de définition de f b) Calculer   2 0 lim ln x x x  et en déduire la limite à droite de f en 0. c) f est-elle continue à droite de 0 ? f est-elle dérivable à droite de 0 ? 2°) Etudier les variations de f et dresser le tableau de variation 3°) Soit (Cf ) la courbe représentative de f dans le plan muni d4un repère orthonormé (O,I,J) unité :2cm a) Déterminer une équation de la tangente T1 à (Cf ) au point d’abscisse 1 ainsi que celle de la tangente T2 à (Cf ) au point d’abscisse e b) Tracer T1 et T2 puis (Cf ) PARTIE II 1°) a) Démontrer que f admet une application réciproque f -1 et donner les propriétés de f -1 . b) f -1 est-elle dérivable au point 2 ? Justifier c) calculer (f -1)’(e) 2°) Tracer (Cf-1) la courbe représentative de f -1 dans le même repère orthonormé (O,I,J) EXO II ABC est un triangle équilatéral. 1-) Déterminer et placer le barycentre K des points pondérés (B ;2) et (C ;2). 2-) On désigne par H le projeté orthogonal de K sur (AB) .Démontrer que H est le barycentre des points pondérés (A ;1) et (B ;3) 3-) Déduire de 1-) et 2-) le barycentre G des ponts pondérés (A ;1) et (B ;5) et (C ;2). 4-) Démontrer que la droite (BG) coupe la droite (AC) en un point L tel que LA 2LC  5-) On suppose ABC a pour côté 3 ; B’ est le milieu de [AC] et D le point tel que 4AD AB 3BC   a-) Démontrer que D est barycentre des points A, B et C affectés de coefficients a, b et c que l’on déterminera. En déduire que D appartient à la médiatrice de [AC] et que 3 BD BB' 2  b-) Calculer : DA2 et DB2 . c-) Déterminer l’ensemble E des points M vérifiant : 3MA2 – 2MB2 + 3MC2 = 12 d-) Vérifier que le centre de gravité G du triangle ABC appartient à E et construire E uploads/S4/ ecole-william-ponty-devoir-de-mathematiques-tc-2017-2018.pdf