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Terminale S 1 F. Laroche Concours Fesic Corrigé mai 2012 Terminale S mai 2012 C

Terminale S 1 F. Laroche Concours Fesic Corrigé mai 2012 Terminale S mai 2012 Concours Fesic Correction Exercice 1 a. Faux : c’est –1. b. Faux : ( ) lim 1 x f x →−∞ = −. c. Vrai : comme au a. d. Vrai : On pose x=1/n, ( ) ( ) 1 0 lim 1 1 lim 1 n n x n e f x →+∞ →     − − = = −     . Exercice 2 Soit f la fonction définie par ( ) ( ) 2 ln 2 1 x x f x e e = − + . a. Vrai : ( ) ( ) 2 ln 1 2ln 1 x x f x e e   = − = −     . b. Faux : ( ) 2 0 2 0 2 0 ln2 x x x f x e e e x < ⇔ − < ⇔ − < ⇔ < . c. Faux. d. Vrai : en −∞, limite = 0, en +∞ c’est y=2x, en 0 c’est −∞. Exercice 3 Pour tout * n∈ℕ, on définit la fonction fn sur ] [ 0 ; + ∞ par ( ) ( ) ( ) ln 2ln n f x x n nx = + − et on appelle Cn la courbe représentant fn dans un repère orthonormal du plan. a. Faux : ( ) 1 1 0 n nx f x n x x − ′ = + − = . b. Faux : fn est décroissante sur ] [ 1 / ; n + ∞. c. Vrai : 1 n x n = , ln 2ln 1 ln 1 n y n n n = − + − = − : ( ) n n x est décroissante et ( ) n n y est croissante. d. Vrai : ( ) ln 2ln n F x x n nx ′ = + − et ( ) 2 ln 2 ln 0 0 0 0 0 2 n nx F x x x x x n = − + − → − + − = quand x tend vers 0. Exercice 4 a. Faux : limites différentes. b. Faux : l’intégrale est négative. c. Faux : Comme la courbe devient horizontale, la dérivée tend vers 0. d. Faux : Entre 0 et 4, f ′ est négative puis positive… Exercice 5 a. Faux Terminale S 2 F. Laroche Concours Fesic Corrigé mai 2012 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , ' sin cos cos ' sin , cos , ' cos sin sin ' cos , sin 1 sin 1 0 sin sin 2 x x x x x x x x x x x x x u e u e e xdx e x e xdx v x v x u e u e e xdx e x e xdx v x v x e e xdx e e xdx e xdx π π π π π π π π π π π   = =     ⇒ = − +     = = −       = =     ⇒ = −     = =     + = + + − ⇔ = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ b. Vrai : la fonction est impaire. c. Vrai : ( ) 1 1 1 ln ln ln 2 2 1 1 ln 1 ' ln x x x x x x x x f x e x x e e x x x − +     = + − + =         . d. Vrai : 2 1 n − est croissante et n également. Exercice 6 a. Faux : pas le droit de simplifier par 3+x… b. Vrai. Le seul problème est ( ) ' 0 f x > : f’ s’annule en 1 mais ça ne joue pas sur le sens de variation. c. Faux : Le problème est la non-existence de Gm lorsque 1+1+m–2+m=0, soit m=0… d. Faux : Il manque la continuité de f… Exercice 7 On considère l'équation différentielle [E] : ' 2 4 y y + = . a. Vrai : 2 z − est solution de l'équation ' 2 0 y y + = : ( ) ' 0 2 2 0 ' 2 4 0 z z z z − + − = ⇔ + − = . b. Vrai : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 , ' 4 , ' 2 4 x x x f x e e f x e f f − − − = − = − = + = . c. Faux : ( ) ( ) 2 4 2 4 2 , ' 2 ' 2 4 x x g x e g x e g g + + = − = − ⇒ + ≠ . d. Vrai : ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 ' 2 , ' 2 4 x x x x h x e h x e h h e e − − − − + +   = + = + = + ⇒ = − + =     et ( ) ' 1 2 h − = −. Exercice 8 a. Vrai : 1 1 0,8 0,3 0,2 0,7 n n n n n n u u v v u v + + = + = + . b. Vrai : 1 1 1 0 0 5 10 500 5 10 n n n n n n s u v u v s u v + + + = + = + = = + = . c. Vrai : ( ) 1 1 1 8 6 3 21 3 1 2 3 2 3 5 10 5 10 2 2 n n n n n n n n n n n t u v u v u v u v u v + + + = − + = − − + + = − + = − + . 0 640 540 100 t = − + = − . d. Vrai : 100 20 5 1000 200 500 2 2 1000 2 2 100 100 2 3 2 3 100 100 2 3 2 3 2 2 2 2 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n v v u v u v u v u v u v u v   = − = − + = + =         ⇒ ⇒ ⇒     − + = − − + = −     − + = − − + = −       . Exercice 9 1 1 n n v u = + . a. Faux : si u est convergente vers 0, alors… b. Vrai : 1 1 1 1 1 2 n n n u u u ≥ ⇒ ≤ ⇒ + ≤ . Terminale S 3 F. Laroche Concours Fesic Corrigé mai 2012 c. Faux : si u est négatif… d. Vrai : 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 n n n n n n n n u u v v u u u u + +   + + = + = + = = + =     . Exercice 10 On considère les suites u et v définies par : 1 1 1 1 ... 1! 2! ! n u n = + + + + et 1 ! n n v u n n = + × . a. Faux : on ajoute des termes positifs qui tendent vers 0 mais comme on démarre à 2… b. Vrai : ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 2 1 1 1 1 ! ! 1 1 1 1 1 1 1 0. 1 ! 1 1 ! 1 ! 1 1 ! ... n n n n u u n n n n n n n n v v n n n n n n n n + + − = = ⇒ + + + + − + + − − = + − = = < + + + + + + c. Vrai. d. Vrai : 1 2 u = , 1 3 v = . Exercice 11 a. Vrai. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( uploads/S4/ fesic-2012-corrige 1 .pdf