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Chapitre 5 Les fonctions 5.1 Les fonctions élémentaires Cette ﬁche regroupe les

Chapitre 5 Les fonctions 5.1 Les fonctions élémentaires Cette ﬁche regroupe les propriétés principales de certaines fonctions élémentaires. Vous devez non seulement les connaître, mais également (et surtout) savoir les appliquer pour résoudre des exercices. Fonctions polynomiales Fonctions afﬁnes Déﬁnition 1. Soient a,b ∈R. La fonction f : R →R : x 7→f (x) = ax +b est afﬁne en x Le graphe d’une fonction afﬁne est une droite. a est la pente de la droite, b est l’ordonnée à l’ori- gine. y x −1 1 2 3 4 1 2 3 4 y = ax +b a = 1; b = 0,5 Voici quelques propriétés pour les droites : • Par 2 points (x1, y1) et (x2, y2) du plan passe 1 droite d’équation y = y2 −y1 x2 −x1 x + x2y1 −x1y2 x2 −x1 On a donc ◦La pente a = y2 −y1 x2 −x1 ◦L’ordonnée à l’origine b = x2y1 −x1y2 x2 −x1 • Soient 2 droites D1 ≡y = ax +b et D2 ≡y = cx +d. Elles sont parallèles (notation : D1 ∥D2) si et seulement si a = c . • Soient 2 droites D1 ≡y = ax + b et D2 ≡y = cx + d. Elles sont perpendiculaires (notation : D1 ⊥D2) si et seulement si a = −1 c a et c ̸= 0 ou si l’une est horizontale et l’autre verticale. 1 • La racine de f (x) = ax +b correspond au x tel que f (x) = ax +b = 0, ce qui nous donne x = −b a Fonctions du second degré Déﬁnition 2. Soient a,b,c ∈R et a ̸= 0. La fonction f : R →R : x 7→f (x) = ax2 +bx +c est une fonction du second degré en x Le graphe de cette fonction est une parabole. y x −1 1 2 3 −2 −1 1 2 0 y = ax2 +bx +c a = 1 b = −2 c = −1 Voici quelques propriétés pour les paraboles : • Les coordonnées du sommet d’une parabole d’équation y = ax2 +bx +c sont données par (−b 2a ;−b2 −4ac 4a ) ◦Si a > 0, ce sommet est l’unique minimum. ◦Si a < 0, ce sommet est l’unique maximum. • Les racines, si elles existent, de f (x) = ax2+bx+c correspondent aux x tel que f (x) = ax2+bx+ c = 0. Pour déterminer ces racines, nous devons d’abord déterminer le discriminant. Celui-ci est donné par ∆= b2 −4ac Nous avons donc 3 cas : ◦∆> 0. Dans cas nous avons deux racines réelles distinctes : x1 = −b + p ∆ 2a , x2 = −b − p ∆ 2a ◦∆= 0. Dans ce cas, nous avons 1 racine réelle unique : x = −b 2a ◦∆< 0. Dans ce cas, il n’y a PAS de racine réelle. Les fonctions trigonométriques Le sinus Proposition 1. La fonction sinus a les caractéris- tiques suivantes : • elle est impaire (f (−x) = −f (x)), • son domaine de déﬁnition est R, • son image est [−1;1], • elle est périodique de période 2π. x sinx −2π −π π 2π −1 1 0 2 Proposition 2. La fonction cosinus a les caractéris- tiques suivantes : • elle est paire (f (−x) = f (x)), • son domaine de déﬁnition est R, • son image est [−1;1] • elle est périodique de période 2π x cosx −2π −π π 2π −1 1 0 Proposition 3. La fonction tangente a les caracté- ristiques suivantes : • elle est impaire (f (−x) = −f (x)), • son domaine de déﬁnition est R\{(2k +1)π/2|k ∈Z}, • son image est R, • elle est périodique de période π. x tanx −2π −π π 2π −6 −4 −2 2 4 6 0 Valeurs particulières Voici le sinus, le cosinus et la tangente de quelques angles particulier. Les angles sont donnés en radians. 180◦= π radians. x 0 π 6 π 4 π 3 π 2 sinx 0 1 2 p 2 2 p 3 2 1 cosx 1 p 3 2 p 2 2 1 2 0 tanx 0 p 3 3 1 p 3 Formules fondamentales Voici 2 formules fondamentales pour les fonctions trigonométriques : sin2 x +cos2 x = 1, tanx = sinx cosx . Les angles opposés, supplémentaires et complémentaires Voici quelques formules trigonométriques pour les angles opposés : sin(−x) = −sinx , cos(−x) = cosx , tan(−x) = −tanx . 3 Voici quelques formules trigonométriques pour les angles supplémentaires : sin(π−x) = sinx , cos(π−x) = −cosx, tan(π−x) = −tanx . Voici quelques formules trigonométriques pour les angles complémentaires : sin ³π 2 −x ´ = cosx , cos ³π 2 −x ´ = sinx , tan ³π 2 −x ´ = 1 tanx . Equations trigonométriques Vous trouverez ci-dessous la résolution d’équations trigonométriques de base, avec k ∈Z : sinx = sin y ⇒ x = y +2kπ ou x = π−y +2kπ, cosx = cos y ⇒ x = y +2kπ ou x = −y +2kπ, tanx = tan y ⇒ x = y +kπ. Formules d’addition Voici les formules trigonométriques pour la somme et la différence d’angles : sin(x + y) = sinx cos y +cosx sin y , sin(x −y) = sinx cos y −cosx sin y , cos(x + y) = cosx cos y −sinx sin y , cos(x −y) = cosx cos y +sinx sin y , tan(x + y) = tanx +tan y 1−tanx tan y , tan(x −y) = tanx −tan y 1+tanx tan y . Les formules pour la tangente sont valables si x, y,x + y,x −y ̸= (2k +1)π/2 où k ∈Z Formules de duplication Les formules ci-dessous transforment les sinus, cosinus et tangente du double d’un angle en une expression qui ne dépend que du sinus, cosinus et tangente d’un angle. sin2x = 2sinx cosx , cos2x = cos2 x −sin2 x = 2cos2 −1 = 1−2sin2 x , tan2x = 2 tanx 1−tan2 x . La formule pour la tangente est valable si x ̸= (2k +1)π/4 et x ̸= (2k +1)π/2 4 Formules de Simpson Les formules de Simpson permettent d’écrire les sommes ou les différences de deux sinus ou de deux cosinus sous la forme d’un produit. sinx +sin y = 2sin x + y 2 cos x −y 2 , sinx −sin y = 2sin x −y 2 cos x + y 2 , cosx +cos y = 2cos x + y 2 cos x −y 2 , cosx −cos y = −2sin x + y 2 sin x −y 2 . Les fonctions cyclométriques La fonction arccos La fonction cyclométrique arccos : [−1;1] →[0;π] : x 7→arccosx est la réciproque de cos : [0;π] →[−1;1] : x 7→cosx On a donc que : ∀x ∈[0;π] : arccos(cosx) = x , ∀x ∈[−1;1] : cos(arccosx) = x . x arccosx −1 1 π 0 La fonction arcsin La fonction cyclométrique arcsin : [−1;1] → h −π 2 ; π 2 i : x 7→arcsinx est la réciproque de sin : h −π 2 ; π 2 i →[−1;1] : x 7→sinx On a donc que : ∀x ∈ h −π 2 ; π 2 i : arcsin(sinx) = x , ∀x ∈[−1;1] : sin(arcsinx) = x . x arcsinx −1 1 π 2 π 2 0 5 La fonction arctan La fonction cyclométrique arctan : R → i −π 2 ; π 2 h : x 7→arctanx est la réciproque de tan : i −π 2 ; π 2 h ] →R : x 7→tanx On a donc que : ∀x ∈ i −π 2 ; π 2 h : arctan(tanx) = x , ∀x ∈R : tan(arctanx) = x . x arctanx −6 −4 −2 2 4 6 π 2 π 2 0 Les fonctions exponentielles Considérons la fonction exponentielle de base a f : R →R+ 0 : x 7→ax . Cette fonction a les propriétés suivantes : • La base a est toujours prise strictement posi- tive. • Le domaine est R • l’image est R+ 0 , i.e. ax > 0 pour tout x ∈R. • La fonction exponentielle est strictement mo- notone pour a ̸= 1. ◦Si a > 1, ax est strictement croissante. ◦Si a < 1, ax est strictement est décroissante. • a0 = 1 . • axay = ax+y pour tout x, y ∈R . • ax ay = ax−y pour tout x, y ∈R . • (ax)y = axy pour tout x, y ∈R . x 2x −3 −2 −1 1 2 3 2 4 6 8 0 x µ1 2 ¶x −3 −2 −1 1 2 3 2 4 6 8 0 6 Les fonctions logarithmiques Considérons la fonction logarithmique de base a loga : R+ 0 →R : x 7→loga x . Cette fonction a les propriétés suivantes : • La base a est toujours prise positive et a ̸= 1! • Le domaine est R+ 0 , uploads/S4/ fichier-fonct-elem.pdf