Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

1° Pour tout entier naturel n non nul, on considère la fonction fn définie sur

1° Pour tout entier naturel n non nul, on considère la fonction fn définie sur ] 0 ; + ∞ [ par : fn(x) = ln x + x n – 1. a) Déterminer les limites de fn en 0 et en + ∞ puis étudier le sens de variations de fn . b) Montrer que l’équation fn(x) = 0 admet une unique solution dans ] 0 ; + ∞ [. On note αn cette solution. Montrer qu’elle appartient à l’intervalle [ 1 ; e ]. c) Etudier le signe de fn (x) sur ] 0 ; + ∞ [ 2° Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O;  → i ;  → j ). On note (Γ) la courbe représentative de la fonction logarithme népérien. a) Soit n un entier naturel non nul. Déterminer une équation de la droite ∆n passant par le point A de coordonnées (0 ; 1) et le point Bn de coordonnées (n ; 0). b) Faire un croquis représentant la courbe (Γ) et les droites ∆1, ∆2 et ∆3. c) Montrer que αn est l’abscisse du point d’intersection de (Γ) avec ∆n. d) Préciser la valeur de α1 puis faire une conjecture sur le sens de variation de la suite (αn). 3° a) Exprimer ln(αn) en fonction de n et de αn. b) Exprimer fn+1 (αn) en fonction de n et de αn et vérifier que : fn+1 (αn) < 0. c) Déduire de la question précédente le sens de variation de la suite (αn). d) Montrer que la suite (αn) converge. On note alors sa limite. Etablir que ln ℓ = 1 et en déduire la valeur de ℓ . 4° On désigne par D n le domaine délimité par la courbe (Γ), l’axe des abscisses et les droites d’équation : x = αn et x = e. a) Calculer l’aire du domaine D n en fonction de αn et montrer que cette aire est égaie à αn 2 n b) Etablir que : (e – αn) ln αn ≤ αn 2 n ≤ (e – αn). c) En déduire un encadrement de n (e – αn). d) La suite de terme général n (e – αn) est-elle convergente ? Ce résultat permet-il d’apprécier la rapidité de la convergence de la suite (αn) ? CORRECTION 1° Pour tout entier naturel n non nul, on considère la fonction fn définie sur ] 0 ; + ∞ ∞ ∞ ∞ [ par : fn(x) = ln x + x n – 1. a) Déterminer les limites de fn en 0 et en + ∞ ∞ ∞ ∞ puis étudier le sens de variations de fn . lim x → + ∞ ln x = ∞ et lim x → + ∞ x n – 1 = + ∞ donc lim x → + ∞ fn (x) = + ∞ lim x → 0 ln x = – ∞ et lim x → 0 x n = 0 donc lim x → 0 fn (x) = – ∞ fn est dérivable sur I R et fn'(x) = 1 x + 1 n > 0 pour tout réel x > 0 et pour tout entier naturel n. La fonction fn est donc croissante sur ] 0 ; + ∞ [. b) Montrer que l’équation gn(x) = 0 admet une unique solution dans ] 0 ; + ∞ ∞ ∞ ∞ [. On note α α α αn cette solution. Montrer qu’elle appartient à l’intervalle [ 1 ; e ]. fn est continue et strictement croissante sur ] 0 ; + ∞ [, lim x → + ∞ fn(x) = + ∞ et lim x → 0 fn(x) = – ∞ donc la fonction fn change de signe sur ] 0 ; + ∞ [. D'après le théorème des valeurs intermédiaires et son corollaire on peut dire que l'équation fn(x) = 0 admet une solution unique αn fn(1) = 1 n – 1 ≤ 0 et fn(e) = e n > 0 donc 1 ≤ αn < e c) Etudier le signe de gn (x) sur ] 0 ; + ∞ ∞ ∞ ∞ [ D'après les variations de la fonction fn on a : fn(x) ≥ 0 ⇔ x 2° Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O;     → → → → i ;     → → → → j ). On note (T) la courbe représentative de la fonction logarithme népérien. a) Soit n un entier naturel non nul. Déterminer une équation de la droite ∆ ∆ ∆ ∆n passant par le point A de coordonnées (0 ; 1) et le point Bn de coordonnées (n ; 0). → ABn       n – 1 et → AM       x y – 1 colinéaires si et seulement si n (y – 1) + x = 0 c'est à dire y = – x n + n b) Faire un croquis représentant la courbe (Γ Γ Γ Γ) et les droites ∆ ∆ ∆ ∆1, ∆ ∆ ∆ ∆2 et ∆ ∆ ∆ ∆3. c) Montrer que α α α αn est l’abscisse du point d’intersection de (Γ Γ Γ Γ) avec ∆ ∆ ∆ ∆n.      y = ln x y = – x n + n ⇔      y = ln x ln x = – x n + n ⇔      y = ln x ln x + x n – n = 0 ⇔    y = ln x fn(x) = 0 ⇒ x = αn d) Préciser la valeur de α α α α1 puis faire une conjecture sur le sens de variation de la suite (α α α αn). α1 = 1 car g1(1) = ln 1 – 1 1 + 1 = 0. La suite (αn) semble être croissante. 3° a) Exprimer ln(α α α αn) en fonction de n et de α α α αn. fn(αn) = 0 ⇔ ln αn + αn n – 1 = 0 ⇔ ln αn = 1 – αn n b) Exprimer fn+1 (α α α αn) en fonction de n et de α α α αn et vérifier que : fn+1 (α α α αn) < 0. fn+1 (αn) = ln αn + αn n + 1 – 1 = 1 – αn n + αn n + 1 – 1 = – (n + 1) αn + n αn n (n + 1) = – αn n (n + 1) < 0 c) Déduire de la question précédente le sens de variation de la suite (α α α αn). fn+1 (αn+1) = 0 donc fn+1 (αn) < fn+1 (αn+1) Comme la fonction fn est croissante sur ] 0, + ∞ [ et que αn et αn+1 sont strictement positifs on a : αn < αn+1. En effet démontrons, par l'absurde, que αn < αn+1. Si on avait αn > αn+1 > 0 comme fn+1 est croissante sur ] 0, + ∞ [ on aurait alors fn+1 (αn) > fn+1 (αn+1) ce qui est contraire aux hypothèses. On a donc bien pour tout entier naturel n, αn < αn+1. La suite (αn) est donc croissante. d) On admet que la suite (α α α αn) converge. On note l l l l sa limite. Établir que : ln l l l l = l l l l et en déduire la valeur de l l l l. La suite (αn) est croissante et majorée par e elle est donc convergente. ln αn = 1 – αn n et lim n → +∞ αn = l donc lim n → +∞ αn n = 0 et lim n → +∞ ln αn = lim n → +∞       1 – αn n = 1. lim n → +∞ αn = l donc lim n → +∞ ln αn = ln l. on a donc bien ln l = 1 c'est à dire l = e 4° On désigne par D D D D n le domaine délimité par la courbe (Γ Γ Γ Γ), l’axe des abscisses et les droites d’équation : x = α α α αn et x = e. a) Calculer l’aire du domaine D D D D n en fonction de α α α αn et montrer que cette aire est égaie à α α α αn 2 n Pour tout réel x de [ αn , e ], ln x ≥ 0 donc en unité d'aire on a : A (Dn) = ⌡ ⌠ αn e ln x dx. Soit u et v les fonctions dérivables sur [ αn , e] telles que :      u(x) = ln x et u '(x) = 1 x v '(x) = 1 et v(x) = x on a donc ⌡ ⌠ αn e ln x dx = [ uploads/S4/ fon-fam-integ-amsud-nov-2006.pdf