Groupe diédral Page 1 G. COSTANTINI GROUPE DIÉDRAL Soit n un entier supérieur o
Groupe diédral Page 1 G. COSTANTINI GROUPE DIÉDRAL Soit n un entier supérieur ou égal à 3. On se propose de déterminer l'ensemble G des isométries (du plan) préservant les sommets d'un n-gone. Soient O le centre du n-gone, A0 l'un de ses sommets et g un élément de G. On note A0, A1, ... An−1 les sommets du n-gone, dans cet ordre. On note s la symétrie d'axe (OA0) et ri la rotation de centre O qui envoie A0 en Ai. (0 i n − 1) 1. Démontrer que G est un groupe dont l'ordre divise n!. 2. a) On suppose dans cette question de g(A0) = A0. Que peut-on dire de g ? b) On suppose dans cette question de g(A0) = Ai. (1 i n − 1) Démontrer que : g = ri ou g = ri o s c) En déduire que : G = < r, s > où r = r1 Préciser l'ordre de G. 3. Compositions d'éléments de G : a) Démontrer que : s o r o s o r = Id b) Démontrer que : ∀i, j ∈ 0, n−1 2, (ri o s) o (rj o s) = ri − j 1) Il est clair que G est un sous-groupe du groupe symétrique Sn. D'après le théorème de Lagrange, on peut affirmer que l'ordre de G divise n ! 2) a) g possède dèjà deux points fixes. Il y a évidemment A0. Mais également O. En effet, comme g est affine, elle conserve le barycentre d'une famille de points. Donc g(O) = O. (Car O est l'isobarycentre de A0, A1, ... An−1) En conséquence, g fixe la droite (A0O). (Puisque cette droite est l'ensemble des barycentres de A0 et O) On en déduit : g = s ou g = Id b) On a : 1 − i r o g(A0) = 1 − i r (Ai) = A0. Et d'après a) : 1 − i r o g = s ou 1 − i r o g = Id D'où : g = ri o s ou g = ri De plus, ces deux isométries sont bien distinctes puisque l'on a, par exemple : ri o s(A1) = ri(An−1) = Ai−1 [n] et ri(A1) = Ai+1 [n] Or, i −1 = i + 1 [n] entraîne, 2 = 0 [n] ce qui est exclu car n 3. Donc ri o s(A1) ≠ ri(A1). c) D'après les questions a) et b), on a examiné toutes les possibilités de transformation du point A0. (À chaque image possible de A0 correspond deux isométries distinctes). On a la liste des isométries suivantes : Id, r1, r2, ... , rn−1, r1 o s, r2 o s, ... , rn−1 o s En notant r = r1, on a bien : G = < r, s > L'ordre de G est 2n. (Et : |< r >| = n, |< s >| = 2) 3) a) r o s o r(A0) = r o s(A1) = r(An−1) = A0. Donc, d'après 2)a) : r o s o r = Id ou r o s o r = s Groupe diédral Page 2 G. COSTANTINI fois j Or : r o s o r(A1) = r o s(A2) = r(An−2) = An−1. Donc r o s o r ≠ Id. D'où : r o s o r = s s o r o s o r = Id (On a aussi : r o s o r o s = Id) b) Utilisons r o s = s o r−1. (D'après 3)a)) (ri o s) o (rj o s) = ri o s o r o ... o r o s = ri o s o s o r−j = ri − j Illustration des axes de symétries dans les cas impairs et pairs : O O A0 A0 uploads/S4/ groupe-diedral.pdf
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- Publié le Sep 06, 2021
- Catégorie Law / Droit
- Langue French
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