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Lycée Pierre de Fermat 2020/2021 MPSI 1 TD Structures algébriques Lois de compo

Lycée Pierre de Fermat 2020/2021 MPSI 1 TD Structures algébriques Lois de compositions internes Groupes 1 Lois de compositions internes. ⊲Exercice 1.1. Soit E = {a, b, c} un ensemble muni de la LCI ∗déﬁnie par la table suivante : ∗→ a b c ↑ a a c b b c b a c b a c 1. Quelles sont les propriétés de la loi ∗? 2. Résoudre les équations d’inconnue x ∈E suivantes x ∗b = c (1) , (b ∗x) ∗a = c (2) , x ∗x = a (3) , x ∗x = x (4) . ⊲Exercice 1.2. Soit E = {a, b, c, d, e, f} l’ensemble des sommets d’un hexagone régulier de centre O. On déﬁnit une LCI sur E en posant, pour tout (x, y) ∈E2, x∗y = z où z est le sommet image de x dans la réﬂexion d’axe (Oy). 1. Dresser la table de loi de ∗. 2. Quelles sont les propriétés de la LCI ∗? 3. Résoudre les équations d’inconnue x ∈E a∗x = e (1) , x∗a = e (2) , x∗x = a (3) , x∗x = x (4) (e∗x)∗a = c (5) , e∗(x∗a) = c (6) . ⊲Exercice 1.3. Soit E un ensemble non vide. 1. Quelles sont les propriétés des LCI ∩et ∪sur P(E) ? 2. Quelles sont les propriétés de la LCI ∆(diﬀérence symétrique) sur P(E) ? On pourra calculer, pour tout A ∈P(E), A∆A, A∆∅et A∆E. Tout élément est-il symétrisable pour cette loi ? ⊲Exercice 1.4. Dans l’anneau usuel (Z, +, ×), on déﬁnit la loi ⊥par a ⊥b = a2 + b2 1. Calculer 2 ⊥1, 5 ⊥3, (3 ⊥1) ⊥5, 3 ⊥(1 ⊥5). Quelles sont les propriétés de la loi ⊥(associativité, commutativité, neutre) ? 2. On déﬁnit a(n) pour tout n ∈N∗par    a(1) = a ∀n ∈N∗, an = (((a ⊥a) ⊥a) ⊥. . . ⊥a) | {z } n fois a . Exprimer a(2), a(3), a(4) et a(2) ⊥a(2). 2 Groupes 2.1 Propriétés élémentaires des groupes. ⊲Exercice 2.1. Union de sous-groupes Soient (G, ∗) un groupe, H et K deux sous-groupes de G. Montrer que H ∪K est un sous-groupe de G si et seulement si H ⊂K ou K ⊂H. Ce résultat est à rapprocher du suivant : soient (E, +, .) un K-espace vectoriel, F et G deux sous-espaces vectoriels de E, montrer que F ∪G est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si F ⊂G ou G ⊂F. ⊲Exercice 2.2. Intersection de sous-groupes Soient (G, ∗) un groupe, I un ensemble quelconque et (Hi)i∈I une famille de sous-groupes de G. Montrer que \ i∈I Hi est un sous-groupe de (G, ∗). ⊲Exercice 2.3. Soit (G, ∗) un groupe. Montrer que l’application Ψ : G → G g 7→ g−1 est une bijection. Ψ est-il un morphisme de groupe ? 1 ⊲Exercice 2.4. Centre d’un groupe Soit (G, ∗) un groupe. Le centre Z(G) de G est l’ensemble des éléments de G qui commutent avec tous les autres éléments de G : Z(G) = {g ∈G | ∀h ∈G, g ∗h = h ∗g }. Montrer que Z(G) est un sous-groupe abélien de G. ⊲Exercice 2.5. Soient E un ensemble et (S(E), ◦) le groupe des permutations de E. Fixons f0 ∈S(E). 1. Montrer que Cf0 = {f ∈S(E) | f ◦f0 = f0 ◦f} est un sous-groupe de (S(E), ◦). 2. Posons ϕ S(E) → S(E) f 7→ f −1 0 ◦f ◦f0 Montrer que ϕ est un automorphisme de groupes. Préciser le sous-groupe ϕ(Cf0). 2.2 Exemples de groupes ⊲Exercice 2.6. 1. Sur l’intervalle ] −1, 1[, à partir des LCI usuelles +R et ×R de R, on déﬁnit une LCI notée ∗en posant, pour tout (a, b) ∈] −1, 1[2, a ∗b = a +R b 1 +R a ×R b. Montrer que cette formule donne eﬀectivement une LCI sur ] −1, 1[ puis montrer que (] −1, 1[, ∗) est un groupe abélien. 2. En exprimant, pour (x, y) ∈R2 quelconques, th(x + y) en fonction de th(x) et de th(y), montrer que (] −1, 1[, ∗) est isomorphe à (R, +). ⊲Exercice 2.7. Groupe de points d’une hyperbole Montrer que G = {x + y √ 3 ∈R | (x, y) ∈R2 : x2 −3y2 = 1} est un sous-groupe de (R∗, ×) (on suppose connu que (R∗, ×) est un groupe). ⊲Exercice 2.8. Soit E un ensemble non vide muni d’une loi de composition interne notée ∗qui est associative, qui admet un élément neutre noté e, et pour laquelle, tout élément est symétrisable à droite (c’est à dire : ∀x ∈E, ∃y ∈E : x ∗y = e). 1. Nous allons dans un premier temps supposer que E est un ensemble ﬁni. (a) Montrer que, dans un ensemble (ﬁni ou pas) muni d’une LCI associative et d’un élément neutre, si un élément est symétrisable à droite et à gauche, alors il est symétrisable. (b) Montrer que, pour x ∈E ﬁxé quelconque, E − → E z 7− → z ∗x est injective. (c) En déduire que (E, ∗) est un groupe. 2. Montrer directement que, dans le cas général, l’ensemble (E, ∗) est un groupe. ⊲Exercice 2.9. Le plus petit groupe non abélien : (S3, ◦), le groupe des isométries d’un triangle équilatéral. Soit ABC un triangle équilatéral. Notons r la rotation de centre le centre de gravité de ABC et d’angle 2π 3 , s la réﬀexion d’axe la médiatrice de [AB]. Soit S3 = {id, r, r2, s, s ◦r, s ◦r2}. Montrer que cet ensemble, muni de la loi de composition est un groupe non abélien de cardinal 6. 2.3 Propriétés de certains groupes particuliers ⊲Exercice 2.10. Soit (G, ∗) un groupe non réduit à un seul élément dont tout élément diﬀérent du neutre (noté e) est d’ordre 2 (c’est-à-dire que ∀g ∈G, g ∗g = e). 1. Montrer que G est abélien (on pourra considérer (g1 ∗g2)2). 2. Montrer que G possède au moins un sous-groupe de cardinal 2. 3. (a) Soit H un sous-groupe ﬁni strict de G (c’est-à-dire H ⊊G) et soit g ∈G \ H. Posons gH = {g ∗h | h ∈H}. Montrer que H ∪gH est un sous-groupe de G de cardinal 2|H|. (b) En déduire que, si G est un groupe ﬁni, alors son cardinal est une puissance de 2. ⊲Exercice 2.11. Soit (G, ∗) un groupe de cardinal ﬁni et pair. Le but est de prouver qu’il existe au moins un élément non trivial d’ordre 2 (c’est-à-dire g ∈G tel que g2 = e et g ̸= e où e est le neutre de G). 1. Soit E = {g ∈G | g2 ̸= e }. Montrer que, si g ∈E, g−1 ∈E. 2. En déduire que E est de cardinal pair et conclure. 2 Correction des exercices ⊲Corrigé de l’exercice 1.1 1. • La LCI ∗est commutative (symétrie de la table de loi par rapport à une des diagonales). • La LCI ∗ne possède pas délément neutre (sinon l’une la colonne correspondant à cet élément serait identique à la première colonne). • La LCI ∗n’est pas associative : a ∗(b ∗c) = a ∗a = a et (a ∗b) ∗c = c ∗c = c . • La LCI ∗a la proprié suivante : ∀x ∈E, x ∗x = x. 2. • x ∗b = c ⇐ ⇒x ∈{a}. • (b ∗x) ∗a = c ⇐ ⇒b ∗x = b ⇐ ⇒x ∈{b}. • x ∗x = a ⇐ ⇒x ∈{a}. • x ∗x = x ⇐ ⇒x ∈{a, b, c} ⇐ ⇒x ∈E. ⊲Corrigé de l’exercice 1.2 1. ∗→ a b c d e f ↑ a a c e a c e b f b d f b d c e a c e a c d d f b d f b e c e a c e a f b d f b d f 2. • La LCI ∗n’est pas commutative : a ∗b = c ̸= f = b ∗a . • La LCI ∗ne possède pas délément neutre (sinon l’une la colonne correspondant à cet élément serait identique à la première colonne). • La LCI ∗n’est pas associative : a ∗(b ∗c) = a ∗d = a et (a ∗b) ∗c = c ∗c = c . • La LCI ∗a les propriétés suivantes : ∀x ∈E, x ∗x = x et ∀(x, y, z) ∈E3, x ∗y = z ⇐ ⇒z ∗y = x (qui est la conséquence directe du fait qu’une réﬂexion est une involution). 3. • a ∗x = e ⇐ ⇒x ∈{c, f}. • x ∗a = e ⇐ ⇒x ∈{c}. • x ∗x = a ⇐ ⇒x ∈{a}. • x ∗x = x ⇐ ⇒x ∈{a, b, c, d, e, f} ⇐ ⇒x ∈E. • (e ∗x) ∗a = c ⇐ ⇒    e ∗x = b ou e ∗x = e ⇐ ⇒    x ∈∅ ou x uploads/S4/ lcigroupes-corrige-kholle-9.pdf