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L1S1 BCST Orsay 2020-2021 Maths MA101B Corrigé du partiel du 10 novembre 2020 E

L1S1 BCST Orsay 2020-2021 Maths MA101B Corrigé du partiel du 10 novembre 2020 Exercice 1 - Fathia, Grégoire et Henriette se partagent les 1000e gagnés au loto. Fathia aura 2 fois plus que Grégoire, et Henriette 200e de moins que Grégoire. Déterminer la part de chacun(e). Réponse. [2 pts] On a F = 2G et H = G −200 avec F + G + H = 1000. D'où 4G −200 = 1000 et G = 300, F = 600 et H = 100. Exercice 2 - Déterminer les domaines de dé nition et les dérivées des fonctions suivantes : a) f(x) = ex x2 b) g(x) = ln(x2 + 1) c) h(x) = p 1 −x2. Réponses. a) [1 pt] Dom(f) = R∗et f′(x) = (x −2)ex x3 . b) [1,5 pt] On a x2 + 1 > 0 d'où Dom(g) = R et g′(x) = 2x x2 + 1. c) [1,5 pt] On a 1 −x2 ≥0 ⇔|x| ≤1. D'où Dom(h) = [−1, 1] et h′(x) = −x √ 1 −x2 pour |x| < 1. Exercice 3 - Soient a et b deux paramètres réels donnés. On considère la fonction f dé nie sur R par f(x) = ( ex si x < 0 ax + b si x ≥0 . 1. Calculer les limites à gauche et à droite de f en x = 0. 2. Pour quelles valeurs de a et b, f est-elle continue et dérivable ? 3. Donner dans ce cas l'équation de la tangente à la courbe de f en x = 0. Réponses. 1. [1 pt] On a f(0−) = e0 = 1 et f(0+) = a × 0 + b = b. 2. [2 pts] f est dérivable (et donc continue) sur R∗(fonctions usuelles sur ] −∞, 0[ et ]0, ∞[). De plus f continue en 0 ssi f(0−) = 1 = f(0+) = f(0) = b, et a quelconque. Lorsque b = 1, f est dérivable en 0 ssi f′(0−) = e0 = 1 est égal à f′(0+) = a. On a donc f dérivable partout ssi a = b = 1. 3. [1 pt] Lorsque a = b = 1, la tangente à la courbe de f en x = 0 est la droite d'équation y = f(0) + f′(0)x = x + 1. Exercice 4 - On étudie la fonction f dé nie sur R par f(x) = x e−x. 1. Calculer la dérivée de f et établir un tableau de variation. 2. Montrer que f dé nit une application bijective de I =] −∞, 1] sur un intervalle J que l'on précisera. On note g : J →I la fonction réciproque ainsi obtenue. 3. Montrer que g(−e) = −1 et calculer g′(−e). Réponses. 1. [0,5 pt] On a f′(x) = e−x −xe−x = (1 −x)e−x. [1 pt] Par croissance comparée, on a f(x) = x ex →0 pour x →+∞, et directement f(x) →−∞ pour x →−∞. [1 pt] Le tableau de variation est donc x −∞ 1 +∞ f′ + 0 − f −∞ ↗ f(1) = e−1 ↘ 0 2. [1,5 pt] f est continue strictement croissante sur I =] −∞, 1]. D'après le cours f est donc une bijection de I sur J = f(I) =] −∞, f(1) = e−1]. 3. [1,5 pt] On a −1 ∈I et −e ∈J d'où f(−1) = −e ⇔−1 = g(−e). D'après le cours, on a alors g′(−e) = 1 f′(g(−e)) = 1 f′(−1) = 1 2e. Exercice 5 - Calculer les intégrales suivantes : a) I = Z 2 1 (x + 1 + 1 x) dx b) J = Z π 0 x sin x dx c) K = Z e2 e dx x ln x. Indication. On pourra eectuer une intégration par parties pour b) et le changement de variables t = ln x pour c). Réponses. a) [1,5 pt] On a I = hx2 2 + x + ln x i2 1 = 2 + 2 + ln 2 −1/2 −1 −ln 1 = 5 2 + ln 2. b) [1,5 pt] On a J = h −x cos x iπ 0 + Z π 0 cos xdx = −π cos π + sin x π 0 = π. c) [1,5 pt] Lorsque t = ln x on a dt dx = ln′ x = 1 x, d'où dt = dx x . On a alors K = Z ln(e2) ln e dt t = ln t 2 1 = ln 2. uploads/S4/ partiel-2021-corrige.pdf