Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

TIBRAIRIE LI SERO SERVICE N" 92 Foce ENCG Cité Salam Chapitre 1 Le Modèle Simpl

TIBRAIRIE LI SERO SERVICE N" 92 Foce ENCG Cité Salam Chapitre 1 Le Modèle Simple de Régression Linéaire EXERCICES Exercice 1 panc le cadre d'uue cuquête visant à comparer oelon certain citères, différents alinrents rændus dans les lost lod- Dous Bvotts retenus lcs infororatioDs se trou Dg dnns ls tableau suivant Obeenatiou I Alinreut Poids (g) 1l Prix (Dollârds) Vi I 2 3 J o 6 I I Sandwiô végétarien Sandriô parisien Big Mac Harnburger Hot Dog Fallalcl Quicbc lorrrriuc Pizza'fornatcs et frourage 150 92 193 90 l:15 24r 169 165 3.90 3.40 5.70 2.90 3,80 6.00 3.30 3.30 : J ochete mrëu:E, (tnot I 1- Représeoter,sur un grapbe. le poids (en abeclsse) et le prix (en ordonnée) des aliments exposés. Existet-il une reletiou entre les deru< rariables? 2- Soit le modèle : (Prir) = 3t + ù - (Poid.c) + s Estioer les patanrètres du et rlr p"t &, .t Â et ecrite t'equatiou. & Dessirrcr. sur le graplre précôeut. la droite obtenue err 2). Véritier quâ cette droite ajrste tes données de farpn satisfaisante. 4. Utiliscr l'âluation de la régression pour prétoir : a- le prix d'ur alirneot pesant l00g: b le prlx d'un aliment pesant 2û)g: c- I'accroissement du pnx pgur 5_0g_suppléruentaires._ L Calculer La sornnre des residus. 6- Calculer SCrcc. SC.r". SCu et .R2. Que pouvez vots corrclure'f 7- Dessiner sur le même graphe qu'au point 3) la droitc de pente : 1= et pàssâut par le point (3.!). & I{ontrer que : tÊJt:,Æ '1' Solution : l-I.c graphe est comme suite: rv c.3 l.o 3t - t.0 al a.0 l9 l0 I rtu tto ,Figrrre I On constate gtt'uIre eugmenution dars'le poids des aliments lui correspond une augrnentation des prlx. 2-oo " lltt f tr' - rXy, - g) f{", - r)v. f (vi - g)", ô,=t='i =:p=:?-- f{"' - =;t !{', - =)' !{", - =;' rel irt d-l I Li;.,r'.,1' ;i" I . .AOÀIRIE L\BÊRO: ttl,iî'rj ,E"{itï, cG Cttlou Ou,rvl EcoxorrÉrnre Ë", i,, aræc E - i=l et. gi = i=l . On obtient ôr : 0.019 Pour fr' o,ro" fr =V-EÏ2. Orr obtient la valeur suiçante ôo = t.l3S ----é-Vbirdgure l, - LPo* Àt.oi, une estimation du prix d'un aliment si on connait zun poids. utilisant la droite de régression tfrl:6o+ô, . (p-a"). Ai*i - Pour un alimeot dont le poids est lu)g. dors une estimation de son prix est : fÊ1=Â+ô,.roo:J.oJ5 - Pour un rlimeu! dont le poids est 200g. une estimation de son prix est : fÊl=Â+Â.zoo:4.e35 S l'ol trote par i; le prix ajusté d'urr alirnent et par r; sont poids. alors d'aprés la relatiou fl = ôo + 0g; ou déduit que Aû = 6r '4s,. Airrsi si une lariatiorr detrs le poids est Ae; = gQg alors une raniation darrs le prix sera Aû = 0.9J 5<n a le résidus ei correspondant à I'obsenation f est donné par ", =ir--'A, =r,:-d'-a,", On <alcule ei pour chaque valeure de z, et y, et ou obtieut que E !e=o' 5-on " I - .9C-g = I(f; -t)2 = 6.2262 r=l I - 5C,* = Ifu, -î;12 = 3.2026 i=l . SCr.;r - $Crce+ SC,o = 9.478? ' R2 = * = 0.662. orr cottctut dutrc que 66.2 porrr ccnt de la rrariatiorr du prix est erptiqrree prrr le poids. 6-U pente de la droite esl -, = 0.0231. Elle est representée en pointiee sur la figrre ci-dessorrs Cueotr Or:evl EcoxorrÉrnle on Ptoce(le eD (;i 60 3.i 50 {.5 r0 &5 lo 7- Montrons que l+l = @. On a f; = Â+f1z;. Cornrne 4 = t - Eia. il s'en suir que i-9-- p1(z; -=). Ainsi ItA -v)'= (6,)'Ik -zil" û; = 9+ Fr(ri - =). Par srrite D'oir D'autres part,7 : 1ffi. 0o,," o'ot l&t= R. ''t' D(û - r)t sc,.o ÉfuËtr=--=-R: CHrorr Ourw Ecor.rortÉrntE' Le ModeJe de 4,egression Linéaire Siruple Exercice 2 Les données du tableau:i ci.dessous publiées par lc journal Chicago Tribwrc le 17 décembre lgg3. urontrent la consom.uutiou dc borrbous ()'). en nrillions de liwes et la population (X), err rnilliorrs. pour 17 pâ!4s eu fggl. (Là Suis* et lrs EtausUnis ilcluent les bonborrs sirrs sucre drurs leur statistiques.) Observation I Pays Population Consommation V' I 2 3 l 6 I 8 I l0 ll l2 l3 l4 t5 r6 17 Australie Autriche Bdgique/Luxernbourg Danerncrk Finlande France Allenagne Irlande Italie Japon Pars-Bas Norvège Esprqgrre Suàle Suisse Royaumc-Uni Etâts-Unis 17,3 l,t 10,4 5.1 5.0 56,9 79.7 3.5 57,8 124,0 r5,l {,3 39,0 8.7 6.9 57,7 2521 327.4 179,5 279.4 139. I 92.5 926.7 2l8ti.3 96.8 523.9 935.9 44J-2 I19.7 3(X),7 201.9 19r.7 1592,9 'ùL&,2 Sowæi rees). 1- Reprêenter graphiquement y eu fouction de X. 2- Soit le modèle: Estinrer les paramètres Bo et Ar et ttrire l'âquatiorr de lr droitc de régrslsn. 3- Dsiner sur le graphe la droitc de ré6nession obtenuc. 4- Calculer les résidu-s et vérifier eue ! c; = 0. S' Quel pourcentage de la variation totale de la coruonrmatiou €st *aliqué par la variable poprF lation. Solution : 1-f* grsphe de }/ en fonction de X est dorrné psr ln figure suiramtc : EcoxorrÉrrue Cgeolr Ou,q,vl l* Itlodèle de Régæsion LirÉaire Sr.rup,le 2- tn nornbre d'obserrnrtions est n : !/. rinqi ' t?- ,? t7 ^ f f", - =Xvi - d f{", - zyy, Ë(v, -y)", Â:}-:+-=E !("' -=y !(zi - =;2 !(,, - 21, a=l i=l i=t l? Iu. arrecE=Ï-.tt=+- 6r = 18.'H9 D'autres part. ô6 = ! - îi:l..On obtient Â = -r0,9 3--on a ei = !, - îi - 9i - Eu - îrr,. Ou calcule e. i = 1,. .' , 17 et en faisaut la somrne ou obtieut, CHlorr Oulyl tt I"t: o' l? t=l 4- on a R2 =sf: = *i En raisant re carcure. on rrouve !tv, - v)' i=I pour chaque rraleure de e; er yi pour t TIBRAIRIE LIBERO SERI,ICE ----lr-gzrffi É Citê Salam EcoNorrÉrnlq Le Irlodèle de Re6sessiou Liuéaire Siuple On conclut donc que 86,69 pour cent de Ia r,ariation de y est expliquée par la rrariation de r. Exercice 3 On considère le modèle de régression li-néaire simple : y;=Bo*Afii*8, pour i=1, (l.r) otr y, et r; sout les variables non obserlables. Âr.fr sont les paramètres incoonus du modèle. et :; c,st l'erranr uou obserrrable ('rariable aléatoire). Eu utillsant la urétbode des moiudrts carrés, ou estirne l'equation (l.I) par l'éqrratiorr de régrcssiou : ui =^+îfi;+c. pour (1.2) oir Eg est un estirnateur par la nréthode des moindres rarrés de Ss et Bt est un estinrateur par Ia rnéthode des moindres carrés de ll1. ej est le résidus sur I'obsenration i. et N est la taille de l'â:hantillon (nombre d'obserrrations). l- Donner le critère d'esJimation par la méthode des moindres carrê. Donner les éq.!îtions per- tnettaDt d'obtenir frl et 91. En deduire l'expression de 0rr et 3r. 2- Un cbercàeur utilise des données prorænttant d'un échantillons formé de274 oboervations sur les emplorves d'uue entreprlse daLs lc but d'étudié la rel*ion qui existe eutre le salaire hogire y, (nresuré err dollcrds prrr heure) el h terrure de I'enùreprise X1 (rnesurée err années). Urre analvse préliminaire des dorrrrés dorrne lcs informatiorrs euiranrto< : I"l = 30608.m ltt, = l6(X0.72 i=t i-l À'^ Li: -- 17263n I;3 = lel22'32 i=t i=l otr i, =2, -î et It = y, -Y pour i = 1..-. .À'. a- Uriliser les inlorrnations ci-decsus pour calculer le; estinrateurs 30 et p1 par la rnétlrode des ruoindres carrê. b Donner une interprétatiorr au crréfficient F1 calculé. c- Calculer un estinrateur de la tariance des erreure; a2 . è Calculer urr estimâteur dc uor(f1), la variance de 61. e Calculer la lalerrr de .R? le coemcient de déternrination. Expliquer brièrærnent que signifie la traleur trouvée. f- D)éterminer la raleure de la t statistique pour tr:ster I'bypothèse nulle Hot tlz = 0 contre I'brpothèse alternatire Hr , lh = 0. On ne demande pas de faire une inférence sur ce t€st. ^ h :274 Ir, = 1945.26 r=l À Io = rr74.æ Dû = 18536.73 i=l çl ^'N Iar =3446.vt6 i=l -. À' f.? : 4105.2s7 i=l CrHor.r Or,r,r'l EcoxoxÉrnre CHeotr Ouevl \ \ Solution : l-lbir "on.r. 2- ^- oA{_1qris l. ..ogT__ f{''-uXYi-?) Â = '=t F er ôu=g - ô,=. !("' -=;' r=l Par suite Ër,o â i=l 314.6.226 st=J-=Ig-Ïtm=0'16022 Itl i=l Pour 4,. il uous faut d'abord calculer ! et ?. On a ^'^ =: I"t rrt4.æ cr u= Eo' - 19,5.26 = ?.0994e ==î= 2 =6.ii4.15 e'r t=?=â Ainsi 4r : 3i - âq= = 7.09949 - (0.f8û22)6.47445 = 5.93266. b Notons que A - 0.18022, g; est rncsuree en dotlards par heure et rr est uresurée err année. L'cstinration 0.180?2 de p; siguifie que si l'ou observe uue augnrentatiorr (ou dirnigution) de I an daus la tenure ti de I'entreprise alors il lui correspond urre augrnentation (ou diminrrtion) du serlaire bdraire de O.fg doUards. c- Ln estimetertr sans biais de la rrariance des erreures est dooné par (voir cours) : ÀÀ' f(q -4' !{",)z '2=Eir-:i uploads/S4/ statistiques-appliquees-le-modele-de-regression-lineaire-simple-exercices-corriges.pdf