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APA Citation Artabasda, N. (1886). Notice sur les deux lettres arithmétiques de

APA Citation Artabasda, N. (1886). Notice sur les deux lettres arithmétiques de Nicolas Rhabdas. Paris: Impr. nationale. MLA Citation Artabasda, Nicolaus. Notice Sur Les Deux Lettres Arithmétiques De Nicolas Rhabdas. Paris: Impr. nationale, 1886. Main Author: Artabasda, Nicolaus. Other Authors: Tannery, Paul, 1843-1904. Language(s): French ; Greek, Modern (1453- ) Published: Paris : Impr. nationale, 1886. Subjects: Arithmetic > Early works to 1900. Mathematics > Early works to 1800. Note: Extract from Notices et extraits des manuscrits de la Bibliothèque nationale, v. 32. Translator's introduction in French; text in Greek and French on opposite pages. NICOLAS ARTABASDOS, SURNOMMÉ ὁ Ῥαβδᾶς DEUX LETTRES ARITHMÉTIQUES publiées par P. TANNERY NOTICE Nicolas Artabasdos surnommé ὁ ‘Ραβδᾶς fut un mathématicien byzantin né à Smyrne et vivant à Constantinople au milieu du XIVe siècle. On connaît de lui deux lettres arithmétiques reproduites ci-dessous qui nous fournissent toutes les deux littéralement le prologue des Arithmetica de Diophante. — La première lettre, adressée à un certain George Khatzyce, traite des quatre opérations et du calcul approximatif des racines carrées mais elle est plus connue pour le morceau expliquant comment les anciens figuraient sur les doigts les nombres de 1 à 9999. — La seconde lettre, adressée à un certain Théodore Tzavoukhe de Clazomène, traite aussi des quatre opérations et donne une méthode plus précise de l’approximation des racines carrées ainsi qu’une méthode pour le comput pascal. Elle fut écrite en l’an 1341 (6849 dans le texte). Outre ces lettres Rhabdas a aussi rédigé pour son fils Paul un petit traité de grammaire et une réédition du traité de Planude sur le Calcul hindou. Sans exagérer l'intérêt que présentent les écrits arithmétiques d'Artavasde, il est certain qu'ils méritaient d'être publiés dès longtemps; il suffit pour s’en convaincre de passer en revue ce qu'ils renferment de plus saillant, en dehors de la figuration des nombres sur les doigts.[2] Tout d'abord, pour la numération écrite, nous voyons exposé un mode de notation spéciale des myriades, mode qui, à la vérité, ne paraît pas remonter à une époque très ancienne, mais qu'on doit regarder comme courant dans les manuscrits à partir du XIIe siècle , sans qu'il ait jamais été suffisamment détaillé. Ce mode consiste à surmonter chaque lettre numérale désignant des myriades d'autant de trémas superposés que l'ordre de la myriade contient d'unités. Si Camerarius a indiqué cette notation, il n'a pas marqué ses sources; d'autre part, Montfaucon ne la reconnaît que pour les myriades simples et pense que le tréma ne doit affecter que la dernière lettre à gauche du groupe de la myriade, ce qui est contre l'usage du manuscrit 2428. Pour le calcul approché d'une racine carrée incommensurable, Rhabdas donne une méthode toute particulière dont l'emploi dans l'antiquité n'a pu être constaté. Cette méthode, assez importante au point de vue théorique, se retrouve déjà généralisée dans Barlaam, mais elle doit être plus ancienne, et Rhabdas ne l'a pas empruntée à son contemporain. En tout pas, c'est la seule que donne un texte grec pour l'expression de la racine carrée approchée avec des fractions ordinaires. Pour la multiplication et la division des nombres fractionnaires exprimés avec des suites de quantièmes, Rhabdas donne des exemples, où il procède en réduisant au dénominateur commun; c'est, dit-il, une méthode généralement inconnue; il n'est pas douteux cependant qu'ici encore, il ne reproduise la tradition antérieure à Geminus. Il nous donne ensuite une méthode de comput pascal, qu'il présente comme étant de son invention; il est à remarquer que, sauf un très léger perfectionnement, cette méthode est la même que celle qu'Isaac Argyre s'attribue dans son traité publié par le P. Petau.[3] L'exposition de la règle de trois, que Rhabdas appelle ϖολιτικὸς λογαριασμός, est un morceau unique en grec; d'un autre côté, pour en expliquer les applications, il donne quelques détails intéressants sur la métrologie de son temps. Enfin, si les dix-huit problèmes inédits qui terminent la lettre à Tzavoukhe n'offrent guère d'intérêt au point de vue mathématique, ils n'en représentent pas moins, par la forme en historiettes de leurs énoncés, ainsi que par le mode synthétique de leurs solutions sans raisonnement, ce que devaient être les problèmes de même ordre dans les logistiques anciennes. Rhabdas nous a donc conservé l'antique tradition aussi bien qu'on pouvait l'attendre d'un auteur aussi récent; je devais me demander s'il n'avait pas subi quelque influence de l'arithmétique hindoue-arabe ; l'examen le plus attentif ne m'a fait reconnaître rien de semblable, ou, pour mieux dire, cette influence n'est accusée que par une lacune regrettable : pour les opérations de multiplication et de division avec des nombres de plusieurs figures, au lieu d'exposer la véritable méthode grecque il renvoie au traité sur le Calcul hindou, preuve qu'à cette époque, la commodité des chiffres modernes les avait déjà fait adopter pour les calculs tant soit peu compliqués. J'ai cherché, dans la traduction, à être aussi fidèle que possible; toute recherche d'élégance eût donné la plus fausse idée du style de Rhabdas. Toutefois une traduction d'un ouvrage mathématique laisse nécessairement à désirer pour la fidélité; car, avant tout, elle doit être claire et par suite en conformité suffisante avec les habitudes du langage mathématique moderne; elle ne peut donc donner qu'une idée plus ou moins approchée des procédés de calcul et de la forme des connaissances théoriques de l'auteur traduit. EXPOSITION ABRÉGÉE ET TRÈS CLAIRE DE LA SCIENCE DU CALCUL, IMPROVISÉE A BYZANCE DE CONSTANTIN, PAR NICOLAS ARTAVASDE DE SMYRNE, ARITHMÉTICIEN ET GÉOMÈTRE, LE RHABDAS, SUR LA DEMANDE DU TRÈS HONORÉ MAÎTRE DES REQUÊTES, Me GEORGE LE KHATZYCE, TRÈS FACILE POUR CEUX QUI VEULENT L'ÉTUDIER, ET QUE VOICI. I. 1. L'éclaircissement des questions sur les nombres, très honoré maître des requêtes, est, comme je le vois, chose qu'il te tient à cœur de connaître; j'ai donc essayé d'en traiter méthodiquement, en commençant par les fondements sur lesquels il repose, l'exposé de la nature et de la puissance des nombres. Ce sujet peut paraître difficile, quand il n'est pas encore familier, car l'esprit des commençants est prompt à se décourager; cependant tu parviendras vite à le saisir, grâce à ta bonne volonté et à mon enseignement, car, avec un maître, on apprend rapidement ce que l'on désire savoir. Tu ne l'ignores pas et tu sais du reste que tout nombre est composé d'une certaine quotité d'unités; il est donc clair que sa valeur peut aller à l'infini. Mais les nombres se trouvant ainsi différents, pour aborder leur étude, voici comment il faut procéder au début; je le dis et pour toi et pour quiconque veut s'initier à la science des nombres. 2. En premier lieu, il faut savoir quelles sont les lettres qu'on y emploie, et quel nombre désigne chacune d'elles; puis comment on doit prendre les nombres sur les deux mains ; après cela apprendre les parépomènes et enfin s'attaquer, pour ainsi dire, au corps même du sujet. II. EXPOSITION DES LETTRES 1. Les lettres qui désignent la quotité et la mesure de chacun des nombres sont les suivantes : α β γ δ ε Ϛ ζ η θ ι κ λ µ ν ξ ο π ϟ ρ σ τ υ φ χ ψ ω Ϡ α signifie un, β deux, γ trois, δ quatre, ε cinq, l’épisème Ϛ six, ζ sept, η huit, θ neuf; ce sont ce que nous appelons les nombres monadiques. 2. Maintenant ι signifie dix, κ vingt, λ trente, µ quarante, ν cinquante, ξ soixante, ο soixante-dix, π quatre-vingts, et le signe sans nom ϟ quatre-vingt-dix; ce sont là les nombres que nous appelons décadiques. 3. Enfin ρ vaut cent, σ deux cents, τ trois cents, υ quatre cents, φ cinq cents, χ six cents, ψ sept cents, ω (méga) huit cents, et ce qu'on appelle le caractère Ϡ, neuf cents ; ce sont les nombres que nous nommons hécatontadiques. 4. Les mêmes lettres, avec un trait au-dessous, signifient autant de milliers qu'elles signifieraient d'unités sans le trait; avec deux points au-dessus, autant de myriades. 5. Ainsi /α, avec le trait qui le touche et qui descend en obliquant à gauche, signifie un mille, /β deux mille, /γ trois, et de même les lettres suivantes avec le même trait signifient autant de mille qu'elles signifieraient d'unités sans le trait; nous avons ainsi, jusqu'à /θ, les nombres dits chiliontadiques. 6. En mettant, comme je l'ai dit, deux points au-dessus, α signifie une myriade, β deux myriades, γ trois, et ainsi de suite; nous commençons de la sorte une nouvelle série, un autre ordre de nombres, et nous avons les nombres monadiques de myriades simples jusqu'à θ, décadiques jusqu'à ϟ, hécatontadiques jusqu'à Ϡ. Et si, avec le trait, les points sont superposés, les lettres désignent autant de milliers de myriades qu'elles désigneraient de milliers sans les points. 7. Si, au-dessus des points, on en met d'autres, la quotité représentée par la lettre se trouve multipliée par une myriade; c'est ce que nous appelons les myriades doubles ou myriades de myriades; en continuant de même à ajouter des points, nous avons les myriades dites triples et quadruples; avec uploads/S4/ tannery-paul-deux-lettres-arithmetiques-de-nicolas-artabasdos-o-rabdas-1886.pdf