TG2 06-04-2021 Interprétations géométriques de l'intégrale. Dans les trois cas
TG2 06-04-2021 Interprétations géométriques de l'intégrale. Dans les trois cas suivants: f est une fonction dé nie, continue sur [a, b] avec a < b . Cf désigne la courbe de f dans le repère orthogonal O, − → OI, − → OJ . L'unité d'aire est l'aire du rectangle OIKJ. D désigne la partie du plan délimitée par Cf , l'axe des abscisses et les droites d'équations x = a et x = b. 1) Cas où f est POSITIVE. Dans ce cas D = {M (x; y) / a ⩽x ⩽b et 0 ⩽y ⩽f(x)} Théorème: Si f est continue et positive sur [a, b], en notant D = {M (x; y) / a ⩽x ⩽b et 0 ⩽y ⩽f(x)} on a Z b a f(x)dx = Aire(D) en unités d'aire(u.a) Démonstration: il n'y a rien à démontrer car cette égalité est la dé nition de l'intégrale d'une fonction POSITIVE donnée au début de ce chapitre. Commentaire: Toute égalité peut se lire de gauche à droite, mais aussi de droite à gauche. Dans de nombreux exercices, on utilise cette égalité pour calculer une aire . Si f est positive sur [a, b], l'aire sous la courbe de f entre a et b, en unités d'aire, est égale à l'intégrale de f entre a et b. 1 2) Cas où f est NÉGATIVE Dans ce cas D = {M (x; y) / a ⩽x ⩽b et f (x) ⩽y ⩽0} Théorème: Si f est continue et négative sur [a, b], en notant D = {M (x; y) / a ⩽x ⩽b et f (x) ⩽y ⩽0} alors on a Z b a f(x)dx = −Aire(D) où l'aire est en unités d'aire(u.a) Démonstration: Soit g (x) = −f (x), notons D2 = {M (x; y) / a ⩽x ⩽b et 0 ⩽y ⩽g(x)} Cg est la symétrique de Cf par rapport à l'axe des abscisses, 2 donc les parties du plan D2 et D sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses, donc Aire(D2) = Aire(D) Calculons Z b a f(x)dx = Z b a −(−f(x)) dx Z b a f(x)dx = Z b a −g(x)dx Z b a f(x)dx = − Z b a g(x)dx par linéarité de l'intégrale or pour tout x ∈[a, b] f (x) ⩽0 donc −f (x) ⩾0 donc g (x) ⩾0 g est POSITIVE sur [a, b], donc Z b a g(x)dx = Aire(D2) donc Z b a f(x)dx = −Aire(D2) or Aire(D2) = Aire(D) donc Z b a f(x)dx = −Aire(D) Commentaire: Lorsque deux nombres sont opposés, chacun est l'opposé de l'autre, A = −B ⇐ ⇒B = −A . Dans de nombreux exercices, on utilise cette égalité pour calculer une aire . Si f est négative sur [a, b], l'aire délimitée par, la courbe de f, l'axe des abscisses, les droites d'équation x = a et x = b, en unités d'aire, est égale à l'opposé de l'intégrale de f entre a et b. Aire(D) = − Z b a f(x)dx où Aire(D) est en unités d'aire(u.a) 3 3) Cas d'une fonction de SIGNE QUELCONQUE. Sur l'exemple ci-dessus: f est NÉGATIVE sur [a, c1] f est POSITIVE sur [c1, c2] f est NÉGATIVE sur [c2, b] En notant D1 = {M (x; y) / a ⩽x ⩽c1 et f (x) ⩽y ⩽0} D2 = {M (x; y) / c1 ⩽x ⩽c2 et 0 ⩽y ⩽f(x)} D3 = {M (x; y) / c2 ⩽x ⩽b et f (x) ⩽y ⩽0} On obtient Z b a f(x)dx = Z c1 a f(x)dx + Z c2 c1 f(x)dx + Z b c2 f(x)dx (relation de Chasles) Z b a f(x)dx = −Aire(D1) + Aire(D2) −Aire(D3) chaque aire étant en u.a Ainsi, l'intégrale de a à b de la fonction f est la SOMME ALGÉBRIQUE des aires délimitées par Cf et l'axe des abscisses, sur chacun des intervalles contenus dans [a, b] et sur lesquels f garde un signe constant. Il n'y a donc pas d'interprétation simple de l'intégrale , dans les exercices on étudie d'abord le signe de f (x) sur [a, b] . 4 Aire entre deux courbes. Théorème (admis): Si f et g sont deux fonctions continues et de SIGNES QUELCONQUES sur [a, b], et telles que Pour tout x ∈[a, b] f (x) ⩾g (x) c'est à dire que Cf est au-dessus de Cg sur [a, b] en notant D = {M (x; y) / a ⩽x ⩽b et g (x) ⩽y ⩽f(x)} on a Aire(D) = Z b a (f (x) −g (x)) dx avec l'aire exprimée en u.a Commentaire: on peut retenir que pour calculer l'aire entre deux courbes sur un intervalle, sur lequel l'une est toujours au-dessus de l'autre, on calcule l'intégrale , sur cet intervalle de la diérence entre la plus grande et la plus petite des fonctions. 5 uploads/S4/ tg2-cours-integrales.pdf
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- Publié le Nov 19, 2022
- Catégorie Law / Droit
- Langue French
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