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Chapitre 1 : Éléments de mathématiques pour l'électromagnétisme Copyright : Eri

Chapitre 1 : Éléments de mathématiques pour l'électromagnétisme Copyright : Eric Bachard septembre 2001 (dernière révision : 25/01/2022) Ce document est sous licence Creative Commons by-sa, merci de la respecter. Pour plus d'informations, voir : https://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/deed.fr page 1/20 Chapitre 1 : Éléments de mathématiques pour l'électromagnétisme Introduction En physique, il y a quatre interactions fondamentales : – l'interaction de gravitation universelle : interaction entre 2 corps liée à la masse ; – l’interaction électromagnétique : interaction entre 2 corps, liée à la charge électrique et à leurs effets ; – l’interaction forte : cette interaction permet d'expliquer l'interaction des noyaux ; – l’interaction faible : cette interaction concerne les règles de comportement entre particules élémentaires, mais elle est aussi responsable de la désintégration radioactive. La connaissance de ces 4 interactions permet de modéliser, à la limite de nos connaissances actuelles près, toutes les interactions connues. Le but du cours est d'étudier les interactions liées à la charge électrique, et à ses effets. Il est toutefois possible que l'interaction de gravitation s'invite aussi dans les problèmes étudiés, et il faudra aussi la connaître pour proposer une solution. Repères Pour repérer la position d'un point ou d'un mobile au cours du temps, un observateur a besoin d'un repère, dont la dimension (égale à 1, 2 ou 3 pour que cela soit représentable) est adaptée au problème et constitué d'autant d'axes orientés et gradués, ainsi que d'une origine. Ce repère d'espace définit un solide de référence par rapport auquel la position de ce point ou de ce mobile sera définie. Toutefois, il manque encore quelque chose, car si le repère d'espace permet de décrire la position d'un point ou d'un objet (penser à une "photographie des lieux"), il ne permet pas de définir un mouvement. Pour satisfaire ce besoin, on ajoute au repère d'espace un repère de temps (dit aussi chronologique) comme une horloge, système dans laquelle se produit un phénomène périodique servant de référence. Si on ajoute le temps à un repère d'espace, on peut alors parler de référentiel. Un solide de référence S, supposé indéformable et permettant de définir une origine + une horloge permet de définir un référentiel. Exemples de référentiels : référentiel terrestre, géocentrique, héliocentrique (helios = soleil). page 2/20 Chapitre 1 : Éléments de mathématiques pour l'électromagnétisme Dans un référentiel, en mécanique classique (non relativiste), on peut ainsi définir la position d'un objet, la simultanéité de deux phénomènes physiques, ainsi que l'antériorité d'un phénomène physique par rapport à un autre. On peut donc définir sans ambiguïté les notions de trajectoire et de mouvement dans un référentiel. Remarque : en relativité (restreinte ou générale), la notion de simultanéité de deux phénomènes physiques instantanés perd son sens. Mouvement : collection (continue) des positions d'un objet dans le temps. Trajectoire : courbe mathématique associée à ce mouvement. Remarques importantes : 1. On utilisera TOUJOURS un système de coordonnées cartésiennes que l'on appellera le repère du laboratoire + une horloge, l'ensemble constituant le référentiel du laboratoire. On supposera aussi souvent que possible que ce référentiel sera galiléen. Dans ce système de coordonnées, le trièdre  i , j ,  k est direct, ce qui entraîne que  k= i∧ j mais aussi  i= j∧ k et aussi  j= k∧ i 2. En fonction des symétries du problème étudié, on pourra faire la description, l'étude et même la résolution de ce problème dans un système de coordonnées ASSOCIÉ au référentiel du laboratoire. Les deux existent toujours simultanément, mais les calculs sont souvent plus simples dans l'un des deux. Exemple : dans le cas d'un problème à symétrie sphérique, on associera un système de coordonnées sphériques (repère + temps) AU référentiel du laboratoire, et À CHAQUE INSTANT, toutes les composantes d'un point donné pourront être traduite soit dans le repère du laboratoire, soit dans le système de coordonnées sphériques. 1 Quelques systèmes de coordonnées (que nous utiliserons) 1.1 Le système de coordonnées cartésiennes Il est adapté aux problèmes ponctuels, ou ne possédant pas de symétrie particulière (ce qui entraîne parfois des calculs difficiles). Un point M, sera repéré par 3 coordonnées : M(x,y,z), avec  OM=vecteur position= x M  iy M  jz M  k 1.2 Le système de coordonnées polaires Avant d'introduire le système de coordonnées cylindriques, on définit les coordonnées polaires. Pour cela, on se place dans le plan Oxy, et toutes les positions d'un point donné seront complètement définies par la connaissance de ses deux composantes x et y (repère du laboratoire) ou et  (coordonnées polaires associées). page 3/20 z x y M O k j i M M y x M Chapitre 1 : Éléments de mathématiques pour l'électromagnétisme On peut ainsi écrire :  OM= er= x  iy  y avec =x 2y 2 et { x=cos y=sin Attention : on est dans le plan Oxy ! (l'axe z n'est pas dessiné ici) 1.3 Le système de coordonnées cylindriques Le système de coordonnées cylindriques est constitué par l'association du système de coordonnées polaires avec l'axe z perpendiculaire au plan polaire. Dans ce système de coordonnées, et en chaque point (notez que le temps devient implicite ici), on peut écrire :  OM= Om mM = erz e z= x  ix  jz  k Avec toujours, en chaque point : { x=cos y=sin z=z (on remarquera aussi que  k= ez en tout point) Autre représentation : Source : cours PSB1 P2021 Auteur : Dominique Stoessel page 4/20 z x y m M O ez e er e k j i O i j M er e y x Chapitre 1 : Éléments de mathématiques pour l'électromagnétisme 1.4 Le système de coordonnées sphériques TRÈS IMPORTANT : afin d'obtenir un trièdre  er , e, edirect, en coordonnées sphériques, on placera toujours et comme sur le dessin ci-dessous (convention des physiciens). Vocabulaire :  est appelée colatitude, et  la longitude. En navigation maritime, la position d'un bateau est complètement définie par la connaissance de sa longitude et de sa latitude (complément à  2 de la colatitude). Relations reliant les coordonnées cartésiennes (x, y, z) aux coordonnées sphériques (r, , ). On part de  OM= x  iy  jz  k=r er cf la figure ci-contre, on considère le point M, et sa projection m dans le plan (Ox, Oy). Dans ce plan, la longueur projetée de OM vaut Om, et sa longueur vaut Om=|r sin| Si on exprime maintenant les composantes mx et m y de M dans ce plan, celles-ci valent mx=Om.cos et m y=Omsin. En tenant compte du signe de sin , et en remplaçant dans les expressions de x M et y M , il vient : mx=x M=r sincos et m y= y M=r sinsin Enfin, la composante sur z du point M sur l'axe Oz, c'est à dire exprimée dans le repère du laboratoire (O, x, y, z) vaut simplement z M=r cos (rappel : zm=0 ). En conclusion, on peut écrire : { x=r sincos y=r sinsin  z=r cos page 5/20 Chapitre 1 : Éléments de mathématiques pour l'électromagnétisme 2. Expression de d OM Remarque : dans d OM , d désigne l'opérateur différentiel, et on parle ici d'une différentielle au 1er ordre. Il s'agit bien de la "dérivée" d'un vecteur. 2.1 Expression de d OM dans le système de coordonnées cartésiennes C'est le cas le plus simple, qui nous servira toujours de point de départ. Pour cela, on considère un déplacement élémentaire du point M 1 au point M 2 , et on posera que d OM= M 1 M 2 . De plus, un déplacement de M 1 à M 2 peut aussi se décomposer en un déplacement parallèle à  i + un déplacement parallèle à  j + un déplacement parallèle à  k , et ceci dans un ordre quelconque. Et d OM peut s'écrire : d OM=dx  idy  jdz k Note :  dOM représente le vecteur directeur du déplacement en tout point. Expression du volume élémentaire engendré par les déplacements élémentaires (au premier ordre) : Soit d  le volume engendré par les déplacements élémentaires entre les points M et M': Pour "matérialiser" ce volume élémentaire, on permute l'ordre dans des déplacements, et en utilisant tous les cas possibles. Alors d =dx dy dz (quelquefois noté d 3car homogène a des m 3 ) Exercice annexe : calculons d er d =? D'après le dessin :  er=cos isin  j Ensuite, il vient : d  er=−sind  icosd  j <=> d  er=−sin icos jd  (au premier ordre) <=> d er d =−sin icos j= e page 6/20 O x y z M1 M2 dx dy dz dOM O j er e y x j sin j i i i cos -sin cos Chapitre 1 : Éléments de mathématiques pour l'électromagnétisme 2.2 Calcul de d OM en coordonnées polaires D'après le dessin, il vient : d OM=dr e rr d  e Et si on change l'ordre des uploads/Finance/ ch1-maths-pour-l-electromagnetisme-ericb.pdf