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Chapitre 8 : MEDAF et Gordon-Shapiro. Correction Chapitre 8 : Modèle de Gordon-

Chapitre 8 : MEDAF et Gordon-Shapiro. Correction Chapitre 8 : Modèle de Gordon-Shapiro et MEDAF Différents thèmes d’intervention A1 : Caractéristiques d’une action 1. Le PER (Price Earning Ratio). PER = “multiple de capitalisation” est un ration pour sélectionner les actions surcotées et sous-cotées. 2. Rentabilité et risque. a) La rentabilité.  Rentabilité passée : Soit une action x de cours C0 à la date 0 et C1 à la date 1. Soit D le dividende éventuel versé durant cette période.  Rentabilité future : On calcule l’espérance mathématique de la rentabilité (donnée avec des probabilités). b) Le risque. Si l’on calcule sur plusieurs périodes la rentabilité RX d’une action X et la rentabilité RM du marché, et si l’on porte sur un graphique RX et fonction de RM on peut obtenir une relation entre les deux variables par ajustement linéaire par la méthode des moindres carrés par exemple. L’équation de la droite d’ajustement est : L’estimation du bêta est effectuée à partir d’une série chronologique des taux de rendement respectifs du marché de cette action, observés au cours des périodes précédentes. Toute valeur RX (t) du taux de rendement de l’action X, observé à l’époque t , peut-être décomposée en une somme de 3 termes : En fait on a : (C’est le Bêta des RM) c) Interprétation. Si >1 : le cours de l’action varie plus fortement que le marché boursier. Elle est plus risquée. Si <1 : elle varie moins que le reste du marché. Dans la pratique, le  est compris entre 0,4 et 1,8 d) Décomposition du risque et puisque RX et e sont indépendantes on a : ²(RX) = ²´ ²(RM) + ²(e). Le risque total .  Risque systématique = ²´ ²(RM) : car les fluctuation du marché entraînent normalement des fluctuations de même sens pour l’action X.  Risque spécifique = ²(e) : risque propre à l’action (peut être réduit par diversification) Exemple On a relevé pendant 13 mois consécutifs, le cours de l’action d’une société S et un indice représentatif du cours moyen sur le marché boursier des actions. Le taux de variation mensuel de l’indice représente le taux de rendement mensuel du marché, et le taux de variation mensuel du cours représente le taux de rendement mensuel de l’action S. Indice du marché Cours de l'action RM RM² RS RS² RM´RS 140 430 0.0571 0.0033 0.1791 0.0321 0.0102 148 507 0.0405 0.0016 0.0099 0.0001 0.0004 154 512 0.0649 0.0042 0.1504 0.0226 0.0098 164 589 0.0305 0.0009 -0.0900 0.0081 -0.0027 DECF – Gestion financière – Epreuve 4 Compléments de mathématiques M. Duffaud Franck 1/6 Chapitre 8 : MEDAF et Gordon-Shapiro. Correction 169 536 -0.0947 0.0090 -0.0504 0.0025 0.0048 153 509 -0.0850 0.0072 -0.0196 0.0004 0.0017 140 499 -0.0214 0.0005 0.0000 0.0000 0.0000 137 499 -0.0511 0.0026 -0.1102 0.0121 0.0056 130 444 -0.0769 0.0059 -0.1194 0.0142 0.0092 120 391 -0.0167 0.0003 -0.1304 0.0170 0.0022 118 340 0.1610 0.0259 0.1294 0.0167 0.0208 137 384 0.1241 0.0154 0.2526 0.0638 0.0313 154 481 Tot 0.132456 0.076827 0.201311 0.189768 0.093263 Moyennes des RM 0.011038 Moyennes des RS 0.016776 cov(RS,RM) 0.007587 V(RM) 0.006280 bêta de RM 1.208012 Remarque :  Cov(RS,RM) = - ´ ≈ - 0.011´0.017 ≈ 0.0076  V(RM) = - ² ≈ – 0.011² ≈ 0.0063  Bêta(RM) = ≈ ≈ 1.21 Méthode graphique : On ajuste graphiquement une droite au nuage de points représentant les couples (RM,RS). On mesure sur le graphique le coefficient directeur de la droite, il représente le coefficient bêta de l’action X. Bêta(RM) = 1,21 A2 : Caractéristiques d’un portefeuille 1. Rentabilité espérée : E(RP). C’est la moyenne pondérée des espérances de rentabilité des titres. Par exemple pour un portefeuille constitué de 2 titres T1, d’espérance de rentabilité E(R1), en proportion p1 et T2 d’espérance de rentabilité E(R2), en proportion p2 on a : E(RPortefeuille) = p1.E(R1) + p2.E(R2) 2. Risque de Portefeuille : V(RP) et  (RP). On retrouve les formules classiques :  Cas d’indépendance : V(RP) = p1².V(R1) + p2².V(R2)  Sinon : V(RP) = p1².V(R1) + p2².V(R2) – 2p1p2cov(R1,R2) 3. le  du portefeuille. A3 : MEDAF : Modèle d’Equilibre Des Actifs Financiers DECF – Gestion financière – Epreuve 4 Compléments de mathématiques M. Duffaud Franck 2/6 Chapitre 8 : MEDAF et Gordon-Shapiro. Correction Ce modèle explique comment se réalise l’équilibre entre offre et demande pour chaque titre, conduisant à l’équilibre général du marché. En outre il permet de déterminer le rendement requis d’un actif risqué en fonction de son risque systématique. Il repose sur les hypothèses suivantes : 1. tous les agents font des prévisions identiques relatives à la rentabilité et au risque ; 2. tous les agents cherchent à maximiser l’espérance de rentabilité et à minimiser le risque. 1. Frontière efficiente. Chaque titre est caractérisé par : . Les portefeuilles qui pour un risque donné ont la rentabilité la plus grande sont nommés portefeuilles efficients ou optimaux. 2. Modèle d’équilibre. L’investisseur peut aussi acquérir un actif sans risque (bons du Trésor…), c'est-à-dire un actif dont la rentabilité (RF) est certaine sur la période. On a donc E(RF) = RF et (RF) = 0. On peut aussi mixer les deux (portefeuille mixte). On peut considérer que les investisseurs tendent à constituer un portefeuille contenant l’actif sans risque et le portefeuille efficient M associé qui est suffisamment diversifié pour ne contenir aucun risque spécifique. Ce portefeuille est appelé portefeuille de marché. 3. Prix du risque. Soit le portefeuille P : Alors Or on a vu que ²(RP) = ²´ ²(RM) + ²(e) = ²´ ²(RM) car ²(e) = 0 donc  = p Donc : c’est la relation du MEDAF  E(RM) – RF = prix du risque ou prime de risque du marché ;  =P = risque systématique du portefeuille P. seul ce risque est rémunéré (par le )  E(RP) = rentabilité espérée par les opérateurs qui investissent dans le portefeuille. 4. La droite de marché. La relation montre que la rentabilité espérée d’un investissement est une fonction linéaire du  de cet investissement. La droite représentative de cette fonction est la droite de marché. (ou droite des actifs risqués). Pour la tracer on utilise les valeurs suivantes :  = x 0 1 E(RP) = f(x) RF E(RM) B1 – Notion de Coût du capital. 1. Définition : Les capitaux propres ne sont pas gratuits. En effets les apporteurs auraient pu placer leurs capitaux en achetant des actions par exemple. Ce manque à gagner représente le coût du capital. Le coût du capital est la moyenne pondérée des coûts des différentes sources de fonds auxquelles l’entreprise fait appel. Soit Alors le coût du capital est : Exemple : DECF – Gestion financière – Epreuve 4 Compléments de mathématiques M. Duffaud Franck 3/6 Chapitre 8 : MEDAF et Gordon-Shapiro. Correction Une entreprise dispose d’un capital d’investissement de 2 750 000 dont : Le coût du capital est de : » 6,87 % B2 – Notion de Coût des capitaux propres. 1. Définition : Le taux d’actualisation (coût des capitaux propres) est le taux auquel on actualise les flux futurs de trésorerie afin d’en calculer la valeur actuelle. C’est le taux de rentabilité minimum exigé par l’entreprise pour un projet donné. Ce taux doit permettre de rémunérer le temps et le risque. Le coût du capital est défini pour un niveau de risque donné, lié à l’entreprise. Pour que le coût du capital puisse être utilisé comme taux d’actualisation, le risque du projet d’investissement ne doit pas être différent du risque de l’entreprise. Deux modèles permettent d’évaluer ce coût des capitaux propres, le modèle de Gordon et le MEDAF. 2. Modèle de Gordon-Shapiro a. Idée. Ce modèle repose sur l’hypothèse d’une croissance régulière du dividende à un taux annuel constant (inférieur au coût des capitaux propres). Cela suppose que chaque année une partie constante du bénéfice soit mise en réserve et réinvestie dans l’entreprise. Ces investissements accroîtront le bénéfice de l’année suivante … Le cours de l’action est égal à la valeur actualisée de la suite infinie des dividendes futurs qu’il est prévu de verser à l’actionnaire. Le taux d’actualisation représente le coût d’opportunité des capitaux propres. b. Méthode de calcul Soit :  Si les dividendes sont croissants : formule de Gordon  Si les dividendes sont constants : Démonstration :  1 er cas : les dividendes sont croissants Si on actualise sur les n premières périodes on a : C = D1(1+t)-1 + D1(1+g) ´ (1+t)-2 + ………+ D1(1+g)n-1 ´ (1+t)-n , On reconnaît la somme de termes d’une suite géométrique donc C = D1(1+t)-1 ´ Or quand n tend vers l’infini, n tend vers 0 car g<t, donc C = = = soit C(t-g) = D1 et DECF – Gestion financière – Epreuve 4 Compléments de mathématiques M. Duffaud Franck 4/6 D1 D1(1+g) D1(1+g)2 D1(1+g)n-1 Chapitre 8 : MEDAF et Gordon-Shapiro. Correction  2 ème cas : les dividendes sont constants Alors C = D(1+t)-1 + D´ (1+t)-2 + ………+ D(1+t)-n = D(1+t)-1 ´ = D ´ Or quand uploads/Finance/ chap8-medaf-gordon-corr.pdf