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L ’intérêt simple L ’escompte à intérêts simples Chapitre I: Calcul Actuariel à

L ’intérêt simple L ’escompte à intérêts simples Chapitre I: Calcul Actuariel à Court Terme Université de Manouba École Supérieure de l’Économie Numérique 2019-2020 1 / 49 Chapitre I: L ’intérêt simple L ’escompte à intérêts simples Déﬁnition Principes et champs d’application Valeur acquise Taux proportionnels Taux moyen de placement Sommaire 1 L ’intérêt simple Déﬁnition Principes et champs d’application Valeur acquise Taux proportionnels Taux moyen de placement 2 L ’escompte à intérêts simples 2 / 49 Chapitre I: L ’intérêt simple L ’escompte à intérêts simples Déﬁnition Principes et champs d’application Valeur acquise Taux proportionnels Taux moyen de placement Déﬁnition L ’intérêt peut être déﬁni comme la rémunération d’un prêt d’argent. C’est le prix à payer par l’emprunteur au prêteur, pour rémunérer le service rendu par la mise à disposition d’une somme d’argent appelé capital pendant une période de temps. Trois facteurs essentiels déterminent le coût de l’intérêt : 1 la somme prêtée noté Co. 2 la durée du prêt notée n. 3 le taux auquel cette somme est prêtée noté t ou i. Il y a deux types d’intérêt : l’intérêt simple et l’intérêt composé. 3 / 49 Chapitre I: L ’intérêt simple L ’escompte à intérêts simples Déﬁnition Principes et champs d’application Valeur acquise Taux proportionnels Taux moyen de placement Principes et champs d’application Principes L ’intérêt simple se calcule toujours sur le même capital principal. Il ne s’ajoute pas au capital pour porter lui même intérêt. Dans le calcul des intérêts simples, le capital ne varie pas au cours du temps. Les intérêts payés sont égaux de période en période. L ’intérêt simple concerne essentiellement les opérations à court terme (inférieures à un an). Les intérêts sont versés à la ﬁn de chacune des périodes de prêt. Le montant des intérêts est proportionnel au capital prêté et à la durée du prêt. 4 / 49 Chapitre I: L ’intérêt simple L ’escompte à intérêts simples Déﬁnition Principes et champs d’application Valeur acquise Taux proportionnels Taux moyen de placement Calcul pratique Considérons un capital Co placé au taux t pendant une période déterminée n. Le montant des intérêts I au bout de cette période est donné par : I = Co × t × n (1) Si t représente un taux annuel alors n doit être exprimé en années. Si t représente un taux semestriel alors n doit être exprimé en semestres.... 5 / 49 Chapitre I: L ’intérêt simple L ’escompte à intérêts simples Déﬁnition Principes et champs d’application Valeur acquise Taux proportionnels Taux moyen de placement Applications Exemple 1 Une personne décide de placer 750 DT sur un compte qui rapporte 6 % par an. Quel est le montant des intérêts touchés au bout de deux ans de placement? 1 Co = 750 DT 2 t= 0,06 3 n=2 4 I=Co ∗t ∗nI = 750 ∗0, 06 ∗2 = 90DT 6 / 49 Chapitre I: L ’intérêt simple L ’escompte à intérêts simples Déﬁnition Principes et champs d’application Valeur acquise Taux proportionnels Taux moyen de placement Applications Exemple 2 Supposons que cette même personne décide de récupérer son argent après huit mois de placement. Quel est le montant des intérêts touchés au bout des huit mois de placement? 5 Dans ce cas n est donné en mois on doit l’exprimer en années : alors n=8/12 années. Co = 750DTt = 0, 06 n= années D’ou I=Co.t.n = 750 ∗0, 06 ∗8/12= 30DT 7 / 49 Chapitre I: L ’intérêt simple L ’escompte à intérêts simples Déﬁnition Principes et champs d’application Valeur acquise Taux proportionnels Taux moyen de placement Applications Exemple 3 Après dix jours de placement, la personne revient sur sa décision. Quel est le montant des intérêts touchés au bout de dix jours de placement? Co = 750 DT t= 0,06 n= années On a I=Co.t.n I= 750 * 0,06 *10/360 = 1,25 DT 8 / 49 Chapitre I: L ’intérêt simple L ’escompte à intérêts simples Déﬁnition Principes et champs d’application Valeur acquise Taux proportionnels Taux moyen de placement Applications Exemple 4 Une personne place son argent du 15 mai au 20 juillet. Calculer le montant des intérêts perçus après cette période. Dans ce cas, il faut calculer le nombre de jours écoulés entre les deux dates données. Ici on a : (31 - 15) + 30 + 20 = 66 jours entre les deux dates. On calcule alors le montant des intérêts pour ces 66 jours, soit : I= 750 * 0,06 *66/360 = 8,25 DT 9 / 49 Chapitre I: L ’intérêt simple L ’escompte à intérêts simples Déﬁnition Principes et champs d’application Valeur acquise Taux proportionnels Taux moyen de placement Valeur acquise La valeur acquise A par un capital Co est la valeur de ce capital augmenté des intérêts I qu’il a produit pendant la période de placement : A = Co + I (2) Exemple : Un capital de 750 DT placé à 6 % pendant deux ans donne une valeur acquise de : 750 + 90 = 840 DT. 10 / 49 Chapitre I: L ’intérêt simple L ’escompte à intérêts simples Déﬁnition Principes et champs d’application Valeur acquise Taux proportionnels Taux moyen de placement Applications Exemple 1 1. Combien dois-je prêter, au taux de 5 %, pour me faire rembourser 1000 DT dans 2 ans? Dans ce cas, l’inconnu (X) est le montant à prêter aujourd’hui pour qu’au bout de la deuxième année je reçois un remboursement de 1000 DT A=X+I=X(1+2*5%)=1000 d’où X=1000/(1+2*5%)=909 DT 11 / 49 Chapitre I: L ’intérêt simple L ’escompte à intérêts simples Déﬁnition Principes et champs d’application Valeur acquise Taux proportionnels Taux moyen de placement Applications Exemple 2 Dans le même cas précédent (j’ai prêter 909 DT), supposons que nous aurons besoin de 1100 DT dans 2 ans au lieu de 1000 DT. Quel serait le taux (annuel) d’intérêt simple qui permet un tel remboursement? 909(1+2*t)=1100 2*t=1100/909 -1 t=1/2[1100/909 -1]=10,5% 12 / 49 Chapitre I: L ’intérêt simple L ’escompte à intérêts simples Déﬁnition Principes et champs d’application Valeur acquise Taux proportionnels Taux moyen de placement Taux proportionnels Les taux proportionnels au taux annuel ta sont respectivement : ta/360 = taux proportionnels quotidien tj ta/12 = taux proportionnels mensuel tm ta/4 = taux proportionnels trimestriel tt ta/2 = taux proportionnels semestriel ts 13 / 49 Chapitre I: L ’intérêt simple L ’escompte à intérêts simples Déﬁnition Principes et champs d’application Valeur acquise Taux proportionnels Taux moyen de placement Application Exemple Soit un taux annuel de 0.06 : Le taux mensuel proportionnel correspondant est :0.06/12=0.005 Calcul de l’intérêt rapporté par un capital de 5000 DT placé pendant 9 mois : Au taux annuel (0.06) ⇒5000*9/12*0.06=225 DT Au taux mensuel (0.005) ⇒5000*9*0.005=225 DT 14 / 49 Chapitre I: L ’intérêt simple L ’escompte à intérêts simples Déﬁnition Principes et champs d’application Valeur acquise Taux proportionnels Taux moyen de placement Taux moyen de placement Déﬁnition On appelle taux moyen de plusieurs placements le taux unique auquel il aurait fallu placer les mêmes capitaux pendant les mêmes périodes de temps pour obtenir le même intérêt. Exemple : On place 900 DT à 4,5% pendant 90 jours et 600 DT à 6,5% pendant 150 jours, L ’intérêt I total produit par ces placements est : [900*0.045*(90/360)]+[600*0.065*(150/360)]=26.375 DT On cherche le taux moyen tm auquel il aurait fallu placer ces capitaux pendant les mêmes durées pour obtenir le même intérêt. On a donc à résoudre : [900*tm*(90/360)]+[600*tm*(150/360)]=26.375 DT d’où tm = 0,055, soit un taux moyen de 5,5 %. 15 / 49 Chapitre I: L ’intérêt simple L ’escompte à intérêts simples Déﬁnition Principes et champs d’application Valeur acquise Taux proportionnels Taux moyen de placement L ’intérêt total de l’ensemble de placements I = P Coi.ti.ni 360 (3) Taux moyen des placements tm = P Coi.ti.ni P Coi.ni (4) 16 / 49 Chapitre I: L ’intérêt simple L ’escompte à intérêts simples Déﬁnition Principes et champs d’application Valeur acquise Taux proportionnels Taux moyen de placement Applications Exemple 1 900 DT à 6 % pendant 58 jours, 1 900 DT à 13 % pendant 75 jours, 400 DT à 8 % pendant 25 jours. Déterminer le taux moyen de placement.(solution=10.97%) Exemple 2 3800 DT à 4.5 % pendant 51 jours, 6420 DT à 6.2 % pendant 67 jours, 780 DT à 5.5 % pendant 82 jours. 100 à 4.8% pendant 97 jours Déterminer le taux moyen de placement. (solution=5.64%) 17 / 49 Chapitre I: L ’intérêt simple L ’escompte à intérêts simples Déﬁnition Principes et champs d’application Valeur acquise Taux proportionnels Taux moyen de placement Explication L ’intérêt I total est la somme de tous les intérêts à différents taux. (I = I1 + I2 + I3 + ....In) Exemple(1) 1 I1 = (900 ∗0.06 ∗58/360) = 8.7 2 I2 = (1900 ∗0.13 ∗75/360) = 51.46 3 I3 = (400 ∗0.08 ∗25/360) = 2.22 4 I = 8.7 + 51.46 + 2.22 = 62.38 Le taux moyen des placements= ((900*0.06*58)+(1900*0.13*75) +(400*0.08*25))/((900*58)+(1900*75)+(400*25))=10.97% ou encore Le taux moyen des placements=(360*I)/((900*58)+(1900*75)+(400*25)) Le taux moyen des placements=(360*62.38)/((900*58)+(1900*75)+(400*25))=10.97% 18 / 49 Chapitre I: L uploads/Finance/ chapitre-1 14 .pdf