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STG Mathématiques Financières - Économie DIAYE N 01 /0 1/ 20 19 Les Intérêts Co

STG Mathématiques Financières - Économie DIAYE N 01 /0 1/ 20 19 Les Intérêts Composés : I. Généralités : 1. Activité : Intérêts simples Je place 1000,00 euros à 5 % pendant un an. Au bout d'un an, les intérêts s'ajoutent à mon capital qui devient : 1000,00+ 1000,00 x 5/100 = 1050,00 C +C x T C =capital = 1000,00 T =taux = 5% = 0,05 Intérêts composés Sur plusieurs années, les intérêts sont ajoutés annuellement au capital. Les intérêts produisent eux-mêmes des intérêts : o Je place 1000,00 euros à 5 % pendant 4 ans et -à la fin de la première année mon capital devient : 1000,00+ 1000,00 x 5% = 1050,00 o -à la fin de la deuxième année mon capital devient : 1050,00+ 1050,00 x 5 % = 1102,50 o -à la fin de la troisième année mon capital devient : 1102,50+ 1102,50 x 5 % = 1157,63 o -à la fin de la quatrième année mon capital devient : 1157,63+ 1157,63 x 5 % = 1215,51 En déduisons une formule pour arriver au résultat plus rapidement o Co : la valeur initiale o Cn la valeur finale o taux= i (avec i= t/100) o nombre d'années = n Ce qui donne dans l'exemple précédent : C4=1000 x(1+0,05) 4=¿1215,51 2. Définition : L’intérêt est dit « composé » si à la fin de chaque année, l’intérêt simple produit pendant l’année précédente est ajouté au capital, cet intérêt produisant à son tour des intérêts. (On dit alors que l’intérêt est « capitalisé ».) 3. Explication de la durée du prêt, de la période de capitalisation et du taux d’intérêt  La durée du prêt : est le temps qui s’écoule entre le jour de l’emprunt et le jour du remboursement.  La période de capitalisation est la durée au bout de laquelle l’unité du capital donne un intérêt de i franc. F I C H E N ° Cn=C0(1+i%) n N’DIAYE  Le taux d’intérêt i utilisé sera l’intérêt de 1franc pendant une période. Exemple : Si le taux de placement est annuel ; i=0,04 signifie que 1franc produit en un an un intérêt de 0,04 franc. NB : Il doit y avoir une concordance entre le taux i et la durée n. C’est-à-dire à une période de capitalisation annuelle (respectivement semestrielle, trimestrielle, mensuelle) correspond un taux annuel (respectivement semestriel, trimestriel, mensuel).Et sauf indication contraire, les taux sont annuels. II. Taux équivalent-Taux proportionnel 1. Taux équivalents : On appelle taux équivalent, des taux correspondant à des périodes de capitalisation différentes, produisant le même intérêt pour un capital donné, pendant une durée déterminée. i1 est équivalent à i2si et seulement si : Alors Appelons: ia=¿≤taux annuel équivalent¿ is=¿≤taux semestrieléquivalent¿ it=¿≤tauxtrimestriel équivalent¿ im=¿≤taux mensuel équivalent ¿ Exemples : Calculer le taux semestriel équivalent au taux annuel de 10% Calculer le taux trimestriel équivalent au taux annuel de 8% Calculer le taux mensuel équivalent au taux semestriel de 9% 2. Taux proportionnels : On dit que deux ou plusieurs taux sont proportionnels quand leur rapport est égal au rapport de leurs périodes de capitalisations respectives. i1 i2 =k i1=k ×i2 Appelons : iap=¿taux annuel proportionnel isp=¿taux semestriel proportionnel itp=¿taux trimestriel proportionnel imp=¿taux mensuel proportionnel Exemples : Calculer le taux semestriel proportionnel au taux annuel de 10% Calculer le taux trimestriel proportionnel au taux annuel de 8% Calculer le taux mensuel proportionnel au taux annuel de 18% (1+i1) n1=(1+i2) n2 i1=(1+i2) n1/n2 (1+ia) 1=(1+is) 2¿(1+it) 4=(1+im) 12 N’DIAYE III. Evaluation de la valeur acquise 1. Taux i constant et n entier La formule fondamentale en intérêt composé de la valeur acquise est : Cn =C (1+i)n Exemple 1 : Si votre père avait placé vous il y a 20 ans un capital de 100 000 F à intérêts composés au taux de 6 %, de quel capital disposeriez-vous actuellement en admettant qu’il ait pu vous être transmis sans prélèvement ? Exemple 2 : Calculer la valeur acquise par un capital de 100 000F placé à un taux de 9% pendant 7 ans. 2. Taux i constant n non entier : Si n n’est pas entier le calcul de la valeur acquise peut être effectué suivant quatre procédés : n non entier peut s’écrire n+p/q Procédé commercial : Procédé rationnel : Procédé interpolation : Procédé logarithme : Exemple : Calculer la valeur acquise par un capital de 500 000F au taux de 6% pendant 8 ans 11 mois. 3. Evaluation de la valeur acquise avec taux variable : Lorsque le taux est variable i1,i2,i3 suivant n période i1,i2,i3 pour trouver la valeur acquise, on pose Exemple : Calculer la valeur acquise par un capital de 200 000F pendant 20 ans. Taux variable 5% de la période 1 à 7 et 8% après ; Taux variable 6% de la période 1 à 5 ; 7,5% de la période 6 à 15 et 9% après. IV. Calcul des intérêts composés L’intérêt produit au bout de n années : L’intérêt produit au cours de la nième année : L’intérêt produit entre k et p périodes : Cn+p/q=C0(1+i) n(1+i) p/q Cn+p/q=Cn+Cn×i× p/q Cn+p/q=Cn+ p q (Cn+1−Cn) log ⁡¿ I n=Cn−C0 I iième=Cn−Cn−1 I k à p=C p−Ck N’DIAYE Exemple : On fait un placement de 80 000F à un taux de 7% l’an à intérêt composés pendant 14 ans, Capitalisation annuelle des intérêts .Calculer : La valeur acquise au bout de 14 ans. L’intérêt produit à la 14ème année ; L’intérêt produit de la 6ème année à la 12ème année V. Calcul de la valeur acquise suivant des périodes de capitalisation différentes : Lorsque des périodes de capitalisation sont différentes par exemple annuelle, semestrielle, trimestrielle…. Il faut chercher d’abord le taux équivalent et convertir les durées conformément à chaque période de capitalisation pour trouver la valeur acquise. Exemple : Calculer la valeur acquise par un capital de 200 000F pendant 20 ans au taux de 6% l’an sachant qu’elle est semestrielle les 10 premières années et trimestrielle après. Cn=C0(1+ia) na(1+is) ns(1+it) nt(1+im) nm uploads/Finance/ cours-interets-composes-2019 1 .pdf