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EXERCICES CORRIGES Partie 1 : Suites numériques Exercice 1 : Une suite arithmét

EXERCICES CORRIGES Partie 1 : Suites numériques Exercice 1 : Une suite arithmétique est telle que la somme de ses 100 premiers termes est égale à 20 800 et la somme de ses 60 premiers termes est égale à 7 680. Calculer le 50ème terme de cette suite. Corrigé : Soient u1 le premier terme et R la raison de cette suite. Nous avons : ) 99 2 ( 50 2 ) ( 100 20800 ...... .......... 1 100 1 100 99 3 2 1 100 1 R u u u u u u u u ui + = + = = + + + + + = ∑ Nous avons alors : 2 u1 + 99 R = 416 ) 59 2 ( 30 2 ) ( 60 7680 ...... .......... 1 60 1 60 59 3 2 1 60 1 R u u u u u u u u ui + = + = = + + + + + = ∑ Nous avons alors : 2 u1 + 59 R = 256 Soit à résoudre :    = = ⇒    = + = + 4 10 256 59 2 416 99 2 1 1 1 R u R u R u Le 50ème terme de cette suite est donc égal à : u50 = u1 + (50 – 1) R = u1 + 49 R = 206 Exercice 2 : Une suite arithmétique de 60 termes est telle que la somme de ses 50 premiers termes est égale à 5 400 et la somme des termes compris, au sens large, entre le 20ème et le 40ème terme est égale à 2 646. Calculer le 35ème terme de cette suite. Corrigé : Soient u1 le premier terme et R la raison de cette suite. Nous avons : ) 49 2 ( 25 2 ) ( 50 5400 ...... .......... 1 50 1 50 49 3 2 1 50 1 R u u u u u u u u ui + = + = = + + + + + = ∑ Nous avons alors: 2 u1 + 49 R = 216 ) 29 ( 21 2 ) ( 21 2646 ...... .......... 1 40 20 40 39 22 21 20 40 20 R u u u u u u u u ui + = + = = + + + + + = ∑ Nous avons alors: u1 + 29 R = 126 Soit à résoudre :    = = ⇒    = + = + 4 10 126 29 216 49 2 1 1 1 R u R u R u Le 35ème terme de cette suite est donc égal à : u35 = u1 + (35 – 1) R = u1 + 34 R = 146 Exercice 3 : Déterminer le 6ème terme d'une suite géométrique croissante dont le 3ème terme est égal à 80 et le 5ème terme à 1 280. Corrigé : Désignons par q la raison de cette suite. Nous pouvons écrire que u5 = u3 x q2 soit 1 280 = 80 x q2 d’où q2 = 16. La suite étant croissante, nous en déduisons que la raison doit être supérieure à 1, la seule valeur acceptable pour q est donc 4. Le 6ème terme est donc égal à 5120 (u6 = u5 x q = 1280 x 4) Exercice 4 : La somme des trois premiers termes d'une suite géométrique est égale à 52. Déterminer cette suite sachant que le troisième terme est égal 9 fois le premier. Corrigé : Désignons par u1 le premier terme de cette suite et q sa raison. Nous avons : u1 + u2 + u3 = u1 ( 1 + q + q2 ) = 52 et u3 = u1 q2 = 9 u1 Nous en déduisons donc que, si u1 est non nul (ce qui est vérifié puisque la somme des trois premiers termes est non nulle), q est égal à 3 ou à – 3 Nous avons donc deux suites solution : G (u1 = 4 ; q = 3) ou G (u1 = 7,4286 ; q = – 3) Exercice 5 : Déterminer la suite arithmétique A(u1 ; R) dont la somme des 10 premiers termes est égale à 355 et dont le 3ème terme est égal à 18. Corrigé : u1 est le premier terme de cette suite et R sa raison. Nous avons : ) 9 2 ( 5 2 ) ( 10 355 ...... .......... 1 10 1 10 9 3 2 1 10 1 R u u u u u u u u ui + = + = = + + + + + = ∑ Nous avons alors: 2 u1 + 9 R = 71. Et : 18 2 ) 1 3 ( 1 1 3 = + = − + = R u R u u : u1 + 2 R = 18 Soit à résoudre :    = = ⇒    = + = + 7 4 18 2 71 9 2 1 1 1 R u R u R u Exercice 6 : Une suite arithmétique A(u1;R) est telle que son premier terme est strictement positif et égal à sa raison. Quel est le rang du terme égal à 100 fois le premier terme ? Corrigé : Cherchons l’entier n tel que : un =100 u1 (égalité 1) Comme un = u1 + (n-1) R et u1 = R, l’entier n vérifie un = u1 + (n-1) u1 = n u1 (égalité 2) D’où, (égalité 1 et égalité 2) n = 100. Le 100ème terme sera donc égal à 100 fois le premier. Exercice 7 : Une personne doit choisir entre deux contrats d’embauche, commençant le 1er juin 2010. Contrat 1 : Le salaire mensuel est 12200 DH pendant la première année et augmenté de 610 DH le premier juin de chaque année Contrat 2 : Le salaire mensuel est 12200 DH pendant la première année et augmenté de 5% le premier juin de chaque année a) Donner la formule donnant le salaire mensuel (en DH) au cours de l’année numéro n, soit M1(n) pour le contrat 1 et M2(n) pour le contrat 2. On note que M1(1)=M2(1)=12200 DH b) Que vaudra le salaire mensuel pour chacun des contrats le 1er juin 2020 ? Corrigé : a) • Pour le contrat 1, la relation de récurrence entre M1(n+1) et M1(n) est : M1(n+1) = M1(n) + R, avec R = 610 DH et M1(1)=12200 DH Suite arithmétique de premier terme u1 = 12200 DH et de raison R = 610 DH M1(1)=12200 M1(2) M1(3) ……………… M1(n) ……….. 1er Juin 10 1er Juin 11 1er Juin 12 1er Juin n+9 Avec M1(n) = M1(1) + (n-1 )R= 12200 + 610 (n-1) • Pour le contrat 2, la relation de récurrence entre M2(n+1) et M2(n) est : M2(n+1) = M2(n) +5% M2(n) = (1+0,05) M2(n) = 1,05 M2(n), avec M2(1)=12200 DH Suite géométrique de premier terme u1 = 12200 DH et de raison R = 1,05 M2(1)=12200 M2(2) M2(3) ……………… M2(n) ……….. 1er Juin 10 1er Juin 11 1er Juin 12 1er Juin n+9 Avec M2(n) = M2(1) x Rn-1 = 12200 x 1,05n-1 b) Le 1er juin 2020 correspond à n = 11, nous avons alors : • Pour le contrat 1 : M1(11) = M1(1) + (11-1 )R= 12200 + 610 x10= 18300 • Pour le contrat 2 : M2(11) = M1(1) + R(11-1 )= 12200 x 1,0510 = 19872,51 Partie 2 : Intérêts Simples Exercice 1 : La valeur acquise par un capital de 4 616€ placés à intérêts simples à 10,5% (annuel) est égale, au bout d'un certain temps, à 4 737,17€. Quelle est la durée du placement ? Corrigé : Désignons par n la durée de placement en année(s) Nous pouvons écrire que : 4616 + 4616 x n x 0,105 = 4737,17 Nous en déduisons ainsi que n = 0,25. La durée de placement est donc un quart d’année soit un trimestre Exercice 2 : La différence entre l'intérêt commercial et l'intérêt civil (année non-bissextile) d'un capital placé à intérêts simples à 5% pendant 60 jours est égale à 0,10€. Quel est le montant de ce capital ? Corrigé : Désignons par C (en €) le capital cherché : • L’intérêt commercial est : C x 60 x 0.05/360 • L’intérêt civil est : C x 60 x 0.05/365 Nous pouvons constater que l’intérêt commercial est supérieur à l’intérêt civil d’où l’équation C x 60 x 0.05/360 ─ C x 60 x 0.05/365 = 0.10 Le capital cherché est égal à 876€ Exercice 3 : Deux capitaux dont la somme est égale à 60 000€ sont placés, le premier pendant trois mois à 4,5%, et le second pendant 2 mois à 7%. L’intérêt rapporté par le premier capital st égal aux (27/56) ème de l’intérêt rapporté par le second. Calculer les deux capitaux. Corrigé : Soient X uploads/Finance/ exercices-corriges-livre.pdf