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Une méthode algébrique de diagnostic de défauts A. Moussa Ali ∗, C. Join ∗,∗∗,

Une méthode algébrique de diagnostic de défauts A. Moussa Ali ∗, C. Join ∗,∗∗, F. Hamelin ∗ ∗CRAN, Nancy-Université, CNRS, BP 239, 54506 Vandœuvre, France e-mail : {amoussaa,cjoin,fhamelin}@cran.uhp-nancy.fr ∗∗ALIEN-INRIA FUTURS, France. email : cedric.join@inria.fr Résumé Cet article présente une reformulation et extension au diagnostic des méthodes algébrique développées pour l’identiﬁcation des systèmes linéaires (Fliess and Sira-Ramirez [2003]). En exploitant les outils et résultats de l’analyse pseudo-spectrale, une approche est proposée pour la génération d’indicateurs de défaut. Le principal atout de cette approche est qu’il est possible, sous certaines hypothèses, de détecter, localiser et identiﬁer les défauts uniquement à partir des mesures de la commande et celles de la sortie sans identiﬁer explicitement un modèle. Un exemple numérique est fourni et commenté aﬁn d’illustrer l’approche proposée. Keywords: Théorie des distributions, analyse spectrale, défaut actionneur, défaut capteur, FDI 1. INTRODUCTION La modélisation mathématique des systèmes (décrivant les relations entre les commandes et les sorties) est fondamen- tale pour eﬀectuer le diagnostic de défaut à base de modèle. Le plus souvent, le modèle du processus n’est pas tout à fait connu ou certains paramètres sont inconnus. Ainsi, les méthodes d’identiﬁcation doivent être appliquées fré- quemment avant d’appliquer toute méthode de diagnostic à base de modèle. On trouvera dans (Isermann [2006]) et (Patton et al. [2000]) la plupart des méthodes classiques d’identiﬁcation pour les processus SISO linéaires et non linéaires qui sont appropriées au diagnostic de défauts. Dans cet article et à l’opposé des approches classiques, aucune méthode d’identiﬁcation du système n’est pas requise au préalable. En eﬀet, les seules hypothèses que nous ﬁxons concernent : – la structure du système, – la structure des signaux de défaut. Pour la première hypothèse, nous allons considérer les systèmes régis par une équation diﬀérentielle à coeﬃcients constants. Pour la seconde hypothèse, nous considérons les défauts actionneur et capteur additifs dits structurés (Fliess and Sira-Ramirez [2003]). Pour l’élaboration de l’algorithme de diagnostic, on adop- tera des formulations distributionnelles (également utili- sées dans Belkoura and Richard [2006]). Ces formulations ont pour avantage de transformer le problème de diag- nostic en un problème d’analyse pseudo-spectrale à partir duquel on peut détecter, localiser et identiﬁer les défauts sans estimer explicitement les paramètres du système. Le document est organisé comme suit. La section 2 est consacrée aux rappels des outils d’analyse mathématique utilisés dans le document. Dans la section 3, nous ﬁxons les diﬀérentes hypothèses sur la structure du système et celles des signaux de défaut avant de déﬁnir et résoudre le problème de diagnostic. La section 4 applique la méthode à un système du premier ordre. 2. OUTILS D’ANALYSE MATHÉMATIQUE 2.1 Théorie des distributions Nous rappelons dans cette section quelques déﬁnitions et résultats de la théorie des distributions (Schwartz [1966]) et ﬁxons quelques notations. Soit K un ouvert de R. Le support d’une fonction f déﬁnie sur K, noté Supp(f), est le plus grand ensemble fermé en dehors duquel la fonction est identiquement nulle. L’espace des fonctions indéﬁniment dérivables à support compact dans K est noté D(K), D′(K) est l’espace des distributions sur K i.e. l’espace des fonctionnelles linéaires et continues sur D(K). Si une application f est localement mesurable sur K, alors on déﬁnit la distribution régulière [f] ∈D′(K) pour tout φ ∈D(K) par < [f], φ >= R f(s)φ(s)ds. De plus, si la fonction f est une fonction continue, excepté au point x où elle présente un saut ﬁni sx, alors ˙ [f] = ˙ f −sxδx, avec ˙ f la dérivée usuelle de f. Le complémentaire du plus grand ouvert de K sur lequel une distribution T est identiquement nulle 1 est appelé le support de T ; on le note aussi Supp(T ). Un ensemble de distributions de grand intérêt dans la théorie du contrôle est l’ensemble D′ + des distributions à support borné à gauche (contenu dans [0, +∞[). Muni de la loi de convolution et de l’addition, cet ensemble devient une algèbre de convolution avec la distribution de Dirac δ comme élément neutre de la convolution. On note par δτ la distribution de Dirac retardée de τ par rapport à l’origine. On dit qu’une distribution T est d’ordre ﬁni si il existe un entier m tel que pour tout compact Ω⊂K d’intérieur non vide ∃C > 0 : ∀φ ∈D(Ω), |T (φ)| ≤C sup 0≤i≤m ||φ(i)||∞ 1 On dit qu’une distribution T est nulle sur Ω⊂K si T(φ) = 0 pour tout φ ∈D(Ω) Le plus petit entier m donnant l’inégalité ci-dessus, noté Ordre(T ), est appelé ordre de la distribution T . La distri- bution de Dirac δ est d’ordre 0, de même qu’une distribu- tion régulière. Les opérations de dérivation, d’intégration et de translation peuvent être traduites par des produits de convolution : ˙ y = δ(1) ∗y, Z t 0 y = H ∗y, y(t −τ) = δτ ∗y avec H l’échelon unitaire (Heaviside). Le théorème qui suit est le résultat principal sur lequel se fonde la méthode de détection et localisation de défauts présentée. Théorème 2.1. (Schwartz [1966]) La multiplication d’une distribution T à support compact (Supp(T ) compact) et d’ordre ﬁni m par une fonction régulière α s’annulant sur Supp(T ) ainsi que ses dérivées jusqu’à l’ordre m, est une distribution nulle (i.e αT = 0). Enﬁn, nous clôturons cette partie en donnant deux résul- tats importants, faciles à vériﬁer et que nous utiliserons par la suite. Pour tout k, n ∈N, t, τ ∈R, on a (t −τ)kδ(n) τ =    (−1)k n! (n −k)!δ(n−k) τ si k ≤n 0 sinon (1) Pour tout S, T ∈D′(K), on a pour tout t ∈R, n ∈N tn(S ∗T ) = n X k=0 Ck n(tkS) ∗(tn−kT ) (2) Remarque 2.1. le produit de convolution de deux distribu- tions n’est pas toujours déﬁni, mais est bien déﬁni pour les distributions à support borné à gauche. 2.2 Analyse spectrale Soient ˜ A0, ˜ A1, .., ˜ Ak des matrices de Rm×n. On suppose qu’il existe au moins un vecteur ˜ β qui réduit le rang du faisceau de matrices ˜ A0 −˜ β1 ˜ A1 −˜ β2 ˜ A2 −... −˜ βk ˜ Ak, c’est- à-dire qu’il existe ˜ X ∈Rn/{0} tel que ( ˜ A0 −˜ β1 ˜ A1 −˜ β2 ˜ A2 −... −˜ βk ˜ Ak) ˜ X = 0 (3) Soient maintenant A0, A1, .., Ak des matrices engendrées par perturbation des matrices ˜ A0, ˜ A1, .., ˜ Ak . Le problème que l’on veut résoudre dans cette section est le suivant : connaissant les matrices perturbées A0, A1, .., Ak (sans connaître les matrices ˜ A0, ˜ A1, .., ˜ Ak), on souhaite déter- miner le vecteur β = (β1, ..., βk) solution du problème ( min ||X||=1,β||(A0 −β1A1 −β2A2 −... −βkAk)X||2 ( ˜ A0 −β1 ˜ A1 −β2 ˜ A2 −... −βk ˜ Ak)X = 0 (4) Notons que si la norme || • || considérée est la norme quadratique ||.||2, alors la quantité min ||X||=1,β||(A0−β1A1−β2A2−...−βkAk)X|| est exactement σmin(A0 −β1A1 −β2A2 −... −βkAk), où σmin(•) désigne la plus petite valeur singulière. Ainsi le problème énoncé ci-dessus peut être remplacé par la recherche de β solution de      min β σmin(A0 −β1A1 −β2A2 −... −βkAk) ( ˜ A0 −β1 ˜ A1 −β2 ˜ A2 −... −βk ˜ Ak)X = 0 ||X|| = 1 (5) Posons pour ǫ ≥0 Λǫ(A0, ..., Ak) = {λ ∈Rn : σmin(A0 −λ1A1 −.. −λkAk) ≤ǫ} Les ensembles Λǫ(A0, ..., Ak) sont plus susceptibles d’être vides pour de petites valeurs de ǫ. En revanche, en faisant croître la valeur de ǫ, on obtient le plus petit ensemble Λǫ0( ˜ A0, ..., ˜ Ak) ̸= ∅qui nous fournit également une bonne approximation du vecteur β solution des problèmes (4) et (5). Le cas k = 1 a déjà fait l’objet de quelques études dans la littérature (Boutry et al. [2005] et Wright and Trefethen [2002]) et est connu sous le nom de problème de valeurs propres généralisées. Pour k > 1, on va montrer qu’avec des dimensions m et n convenables, on peut toujours se ramener au cas k = 1. Déﬁnition 2.1. (Conoyau d’une matrice) Le conoyau d’une matrice M, noté coker(M), est une matrice N telle que NM = 0. Une matrice peut posséder plus d’une matrice conoyau. Soient m, n ∈N avec m > n et A une matrice de Rm×n. Il existe une matrice orthogonale Q ∈Rm×m et une matrice triangulaire rectangle R ∈Rm×n telles que A = QR. Cette décomposition est connue sous le nom de factorisation qr. Elle nous fournit également un conoyau de dimension ((m −n) × m) de la matrice A, il s’agit de la matrice N dont les lignes sont les transposées des m −n dernières colonnes de Q (i.e. N = Q(:, n + 1 : m)T ). En eﬀet, Q étant orthogonal, on a NQ = [0m−n,n Im−n] et NA = NQR = [0m−n,n Im−n]R = 0m−n,nR(1 : n, :) + Im−nR(n + 1 : m, :) = 0m−n,n Donnons à présent une résolution du uploads/Finance/ gdmacss.pdf