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Mémoire présenté devant l’Institut de Science Financière et d’Assurances pour l

Mémoire présenté devant l’Institut de Science Financière et d’Assurances pour l’obtention du diplôme d’Actuaire de l’Université de Lyon le 8 Novembre 2011 Par : Sylvie COGNET Titre: MODELISATION DE LA STRUCTURE PAR TERME DES TAUX D’INTERET ET PREVISION DES TAUX FUTURS PAR LE MODELE DE NELSON-SIEGEL Confidentialité : NON OUI (Durée : 1 an 2 ans) Membre du jury de l’Institut des Actuaires Entreprise : M. Patrick PERRET Caisse des dépôts Membres du jury I.S.F.A. Directeur de mémoire en entreprise : M. Jean Claude AUGROS Pierre-François KOEHL M. Alexis BIENVENÜE M. Areski COUSIN Invité : Mme Diana DOROBANTU Mme Anne EYRAUD-LOISEL M. Nicolas LEBOISNE M. Stéphane LOISEL Autorisation de mise en ligne sur un site de diffusion de documents actuariels (après expiration de l’éventuel délai de confidentialité) Mlle Esterina MASIELLO Mme Véronique MAUME-DESCHAMPS M. Frédéric PLANCHET M. François QUITTARD-PINON Mme M. Béatrice REY-FOURNIER Pierre RIBEREAU Signature du responsable entreprise M. Christian-Yann ROBERT M. M. Didier RULLIERE Pierre THEROND Secrétariat Signature du candidat Mme Marie-Claude MOUCHON Bibliothèque : Mme Michèle SONNIER 50 Avenue Tony Garnier 69366 Lyon Cedex 07 Université Claude Bernard – Lyon 1 INSTITUT DE SCIENCE FINANCIERE ET D'ASSURANCES - 1 - Résumé La structure par terme des taux d’intérêt est un outil d’analyse actuariel indispensable. La modélisation de la courbe des taux constitue de ce fait un domaine particulièrement actif de la recherche actuarielle et financière, et ces dernières années de nombreux modèles de reconstitution de la courbe des taux ont vu le jour et ont été mis en place dans des établissements financiers. Le modèle paramétrique de Nelson-Siegel présente l’avantage de comporter des paramètres interprétables financièrement. Les calculs liés à la calibration peuvent être de plus nettement simplifiés en linéarisant le problème. Et on montrera également, que ce modèle donne de bons résultats en termes de prévision de taux futurs. Cependant, beaucoup de difficultés numériques se posent lors de la calibration de ce modèle. Ces difficultés sont dues premièrement à un problème d’optimisation, la fonction à minimiser n’est pas convexe, ce qui rend inutilisable les algorithmes classiques de descente. Et le deuxième problème que nous verrons est qu’il est mal-conditionné et colinéaire sur certains intervalles de données, ce qui a pour effet de générer des paramètres extrêmement volatiles et instables. Le troisième et dernier problème rencontré n’est pas lié au modèle mais au contexte économique, c’est la crise financière de 2007. Celle-ci a complètement bouleversé la structure des courbes de taux de sorte que les courbes de taux entre 2007 et 2009 ne peuvent pas pour la plupart, être modélisées correctement par le modèle de Nelson-Siegel. Mots Clés Nelson-Siegel, Courbe des taux, zéro-coupon, swap, interpolation, calibration, interpolation, crise économique, sur-ajustement, Diebold-Li, prévision de taux, ARIMA. - 2 - Abstract The term structure of interest rates is an indispensable analysis tool in actuarial fields. A lot of research has been made around modeling the yield curve and these last years, numerous yield curve models have been created and set up. The parametric model of Nelson-Siegel possesses the advantage to contain parameters which are financially interpretable. Moreover calculations linked to calibration can be really simplified by linearizing the problem. We will also show that this model can give good results in terms of forecasting. However some numerical difficulties arise when calibrating the model. These ones are the result of an optimization problem, the function to minimize is not convex, and hence standard methods fail. And the second problem that we will see is that the model is badly- conditioned and presents colinerity in certain ranges of the data, estimated parameters have high volatility and are unstable. The third and last tackled problem is not linked with the model but with the economic context: this is the economic crisis of 2007. This one had a considerable impact on the shape of the yield curves in a way that most of the curves between 2007 and 2009 cannot be properly modeled by the Nelson-Siegel model. Key Words Nelson-Siegel, yield curve, zero-coupon rate, swap, interpolation, calibration, fitting, economic crisis, overfitting, Diebold-Li, forecasting, ARIMA. - 3 - Remerciements Je souhaite remercier en premier lieu Pierre-François Koehl et Vincent Brenelliere qui m’ont suivi et formé tout au long de mon expérience professionnelle à la Caisse des Dépôts. Je tiens également à témoigner mon amitié au service de l’ALM, en particulier à Sophie Ton, Raja El Babsiri, Guillaume Loitron et Philippe Cassayre pour leur soutien ainsi que pour les aides et les conseils qu’ils ont su me prodiguer. Je tiens aussi à citer Nicolas Garrigue, Pauline Requena, Maxime Belaid et Romain Girardot pour la bonne humeur qu’ils ont su apporter et pour cette agréable ambiance de travail. Enfin, je suis reconnaissante envers l’ensemble des professeurs de l’ISFA, et en particulier envers ma directrice de mémoire Anne Eyraud-Loisel, pour leur écoute, leurs conseils et le savoir qu’ils m’ont transmis. - 4 - Sommaire Introduction Générale .................................................................................................................. 8 PARTIE I Généralités sur la structure par terme des taux d’intérêts................................. 9 Chapitre 1 Définition et utilisation de la courbe des taux d’intérêt .......................................... 9 Section 1.1. Définition ...................................................................................................... 9 Section 1.2. La diversité des courbes des taux ............................................................... 10 Section 1.3. Utilité économique et financière de la gamme des taux d’intérêt ............ 11 Chapitre 2 Les différents types de taux et de structures par terme de taux d’intérêt ............ 12 Section 2.1. Contraintes sur la qualité des taux choisis ................................................. 12 Section 2.2. La courbe de taux Zéro-Coupon ................................................................. 12 Section 2.3. La courbe de taux de rendement actuariel ................................................ 13 Section 2.4. Les taux issus d’obligations à coupons ....................................................... 14 Section 2.5. La courbe de taux swap .............................................................................. 14 Section 2.6. La courbe de taux forward ......................................................................... 16 Section 2.7. La courbe de taux forward instantané ....................................................... 17 Chapitre 3 Intérêt économique de la courbe des taux ............................................................ 18 Section 3.1. Formation des taux courts et des taux longs ............................................. 18 Section 3.2. Explication économique des différentes formes de courbe de taux ......... 18 3.2.1. La courbe d’Etat : un outil robuste de prédiction économique ..................... 18 3.2.2. Courbe de taux normale : signe de croissance économique ......................... 19 3.2.3. Courbe de taux inversée : signe de récession ................................................ 19 3.2.4. Courbe de taux plate : période de transition ou d’incertitude ...................... 20 3.2.5. Courbes de taux mixtes : déséquilibre économique ...................................... 21 Section 3.3. Explication économique de la dynamique de la courbe des taux .............. 22 3.3.1. Les causes des mouvements de la courbe des taux ...................................... 22 3.3.2. Variations parallèles (shift) ............................................................................ 23 3.3.3. Aplatissement de la courbe des taux (twist) .................................................. 23 3.3.4. Pentification de la courbe des taux (twist) .................................................... 24 Chapitre 4 Intérêt actuariel de la courbe des taux .................................................................. 25 Section 4.1. Le risque de taux d’intérêt ......................................................................... 25 Section 4.2. Les risques relatifs au mouvement de la courbe des taux ......................... 25 4.2.1. Risque de translation (Repricing Risk) ............................................................ 25 4.2.2. Risque de déformation de la courbe des taux (Yield Curve Risk) .................. 23 4.2.3. Risque de base (Basis Risk) ............................................................................. 23 Section 4.3. Gestion ALM du risque de taux .................................................................. 26 Section 4.4. La courbe des taux : outil d’analyse financière .......................................... 27 4.4.1. La courbe de taux : un indicateur de profil risque/rendement ..................... 27 4.4.2. Opérations d’opportunité d’arbitrage ........................................................... 27 - 5 - Chapitre 5 Reconstitution de la courbe zéro-coupon du marché............................................ 28 Section 5.1. Calcul des taux zéro-coupon sur la partie court terme .............................. 28 5.1.1. Les taux d’intérêts de référence présents sur le marché monétaire............. 28 5.1.2. La transformation des taux IBOR en zéro-coupon ......................................... 29 Section 5.2. Calcul des taux zéro-coupon sur la partie sur le long terme ...................... 29 5.2.1. Bootstrapping de taux swap contre Euribor .................................................. 30 5.2.2. Bootstrapping de taux swap contre EONIA.................................................... 32 PARTIE II Méthodes d’interpolation de la courbe des taux et présentation du modèle de Nelson-Siegel ................................................................................................................... 34 Chapitre 1 Les différentes méthodes d’interpolation de la courbe des taux d’intérêt .......... 34 Section 1.1. Nécessité d’interpoler ................................................................................ 34 Section 1.2. Les méthodes directes d’interpolation....................................................... 35 1.2.1. Interpolation linéaire ..................................................................................... 35 1.2.2. Interpolation cubique ..................................................................................... 35 1.2.3. Comparaison des deux interpolations ........................................................... 35 Section 1.3. Les méthodes indirectes d’interpolation.................................................... 36 Section 1.4. Critères de choix de la famille d’interpolation de courbes de taux ........... 37 Section 1.5. Les méthodes non paramétriques : les modèles à splines ......................... 38 1.5.1. Bref revue sur les modèles à splines ............................................................. 38 1.5.2. Les splines polynomiales (Mc Culloch, 1971) ................................................. 38 1.5.3. Les splines exponentielles (Vacisek et Fong, 1982) ....................................... 39 1.5.4. Critiques des modèles à splines ..................................................................... 40 Section 1.6. Les modèles paramétriques : de type Nelson-Siegel ................................. 41 1.6.1. Bref historique des modèles de type Nelson-Siegel ...................................... 41 1.6.2. Avantages de ces modèles ............................................................................. 41 Chapitre 2 Le modèle paramétrique de taux de Nelson-Siegel ............................................... 43 Section 2.1. Présentation de la fonctionnelle des taux de Nelson-Siegel ...................... 43 Section 2.2. Provenance de la fonctionnelle de Nelson-Siegel ...................................... 44 Section 2.3. Rôle et interprétation économique des paramètres de Nelson-Siegel ..... 45 Section 2.4. Critiques du modèle de Nelson-Siegel ....................................................... uploads/Finance/ memoire-cognet-sylvie.pdf