Année académique 2007- 2


 
         Année académique 2007- 2008 INSEA Devolder 2 Prédire est un art difficile… surtout s’il concerne le futur… Niels BOHR ( 1885- 1962) INSEA Devolder 3     • PARTIE 1 : LES ACTIFS DERIVES • PARTIE 2 : MODELES STOCHASTIQUES DISCRETS • PARTIE 3: CALCUL STOCHASTIQUE • PARTIE 4: MODELES STOCHASTIQUES EN TEMPS CONTINU INSEA Devolder 4    !"# $$ • 1.1 Introduction • 1.2 Les options classiques • 1.3 Les options exotiques • 1.4 Un premier exemple de pricing par arbitrage INSEA Devolder 5   %
& #"'! #()  "&# • 2.1 Modèle discret général • 2.2 Modèle binomial de COX-ROSS- RUBINSTEIN • 2.3 Théorème général de tarification neutre risque • 2.4 Modèle de courbe de taux HO et LEE INSEA Devolder 6   * !") #"'! #() • 3.1 Motivation • 3.2 Processus stochastiques en temps continu • 3.3 Le mouvement brownien • 3.4 Intégration stochastique – Lemme de ITO • 3.5 Equations différentielles stochastiques • 3.6 Dérivée de RADON-NIKODYM et théorème de GIRSANOV • 3.7. Représentation de FEYNMAN- KAC • 3.8. Calcul stochastique multi dimensionnel INSEA Devolder 7   +
& , #-. ",#,) • 4.1 Modèle brownien additif et géométrique • 4.2 Modèle de BLACK SCHOLES • 4.3 Modèles de courbe de taux de VASICEK et HULL & WHITE • 4.4 Mesure forward neutre et tarification d’options sur zéro coupons • 4.5. Options sous taux d’intérêt stochastiques INSEA Devolder 8   BINGHAM N.H. / KIESEL R. : Risk neutral valuation ( Springer) MUSIELA M./ RUTKOWSKI : Martingale methods in financial modelling ( Springer) INSEA Devolder 9   % HULL J.C. : Options, Futures and other derivatives ( Prentice-Hall) SHREVE S.: Stochastic calculus for finance (vol. 1 and 2) ( Springer) PARTIE 1  !"# $$ INSEA Devolder 11  ,#)"#, FINANCE = Allocation de ressources rares au cours du temps 2 caractéristiques : 1° le temps 2° l’incertitude PRODUIT FINANCIER = Ensemble de cash flows futurs définis selon une règle établie à priori INSEA Devolder 12 Introduction 2 problèmes fondamentaux de la finance de marché : - le pricing ( tarification) : quel est la valeur initiale d’un produit financier tenant compte à la fois de la répartition temporelle et de l’incertitude ? -le hedging ( couverture) : comment l’intermédiaire financier qui émet le produit peut-il se couvrir face aux risques? INSEA Devolder 13 Produits financiers - Les obligations - Les actions - Les produits dérivés: - contrats à terme - options classiques - options exotiques … incertitude et risques croissants … !!! INSEA Devolder 14 Les obligations OBLIGATION : titre financier représentatif d’un droit de créance et donnant droit à la réception de différents flux financiers fixés à des dates d’échéances futures fixées - coupons: versements intermédiaires - remboursement au terme OBLIGATION ZERO COUPON :obligation à coupons nuls OBLIGATION A TAUX FIXE : coupons déterministes OBLIGATION A TAUX VARIABLE : coupons liés à un indice de nature aléatoire INSEA Devolder 15 Les obligations Quelques propriétes des obligations : 1° titre mortel ; 2° toute obligation à taux fixe peut se décomposer en une somme de zéro coupons ; 3° risques d’une obligation à taux fixe ( flux déterministes): - risque de réinvestissement des coupons - risque de réalisation INSEA Devolder 16 Les obligations Structure des prix des zéro coupons : -espace des temps discret : T = {0,1,2,…N} - structure des prix des zero coupons: P(s,t) = prix à l’instant s d’un zéro coupon échéant à l’instant t ( s<t ; s et t à valeur dans T ) -gamme des taux au comptant ( taux zéro coupons) : s t )) t , s ( R 1 ( 1 ) t , s ( P − + = INSEA Devolder 17 Les obligations Gamme des taux à terme ( forward rate) : ) s t , s ( r 1 )...( 2 , s ( r 1 ))( 1 , s ( r 1 ( 1 ) t , s ( P − + + + = Incertitude : P(s,t) est observable à l’instant s P(s,t) n’est pas observable à l’instant r < s Incertitude quant à l’évolution future des taux d’intérêt INSEA Devolder 18 Les actions ACTION : titre financier représentatif d’un droit de propriété d’une part d’une entreprise donnant droit à des revenus réguliers liés aux résultats de l’entreprise appelés dividendes. REVENU GLOBAL ESPERE : dividendes et plus value ( écart entre prix de vente et prix d’achat) COURS DE L’ACTION : actions généralement échangées sur des marchés ( titres négociables) INSEA Devolder 19 Les actions Caractéristique temporelle: ACTION = Titre sans maturité Caractéristique de risque : ACTION = Titre aléatoire par excellence; pas de condition aux limites comme les obligations Domaine par excellence des modélisations stochastiques INSEA Devolder 20 %  .#, "! () Actif dérivé :actif conditionnel construit sur un autre actif préexistant appelé sous jacent et dont les cas flows sont conditionnels à ce sous jacent. Les actifs dérivés sont des sortes de paris sur d’autres actifs ; ils n’ont donc de sens qu’en univers aléatoire. Sous jacent : valeur quelconque dont l’évolution future est incertaine INSEA Devolder 21 Les actifs dérivés Exemples de sous jacent: - biens matériels - matières premières - obligations - actions -indice de taux d’intérêt -indice boursier -indice de sinistralité en assurance INSEA Devolder 22 Les actifs dérivés 2 grandes familles d’actifs dérivés : Les contrats à terme ( futures, forward,..) Les options ( call , put) Obligation d’exercice Droit d’exercice INSEA Devolder 23 Contrat à terme Contrat à terme : contrat entre deux parties portant sur la livraison d’une valeur à une date future fixée et pour un prix fixé à l’avance et payé au moment de la livraison ( obligation d’achat aux conditions initialement convenues) acheteur: position longue vendeur : position courte Forward contract : contrat à terme entre 2 parties privées non négociable sur un marché organisé Future contract : contrat à terme standardisé et négocié sur des marchés financiers INSEA Devolder 24 Contrat à terme Valeur d’un contrat à terme : Payoff : flux financier généré par l’actif dérivé: T = maturité du contrat à terme F= prix fixé à l’avance S(T) = prix réel de marché observé à l’instant T V(T) = S(T) – F ( position longue) Pricing: V(0) = ????? INSEA Devolder 25 Les options Option : idem qu’un contrat à terme mais on remplace l’obligation d’achat ou l’obligation de vendre par le droit d’acheter ( call) ou le droit de vendre ( put) Option européenne : titre financier donnant le droit d’acheter ( call) ou de vendre ( put) à une date future fixée une valeur (=sous jacent) à un prix déterminé d’avance ( = prix d’exercice) Option américaine : titre financier donnant le droit d’acheter ( call) ou de vendre ( put) tout au long d’un intervalle une valeur à un prix déterminé d’avance INSEA Devolder 26 Les options 2 parties contractantes : acheteur de l’option /détenteur de l’option : celui qui peut exercer le droit vendeur de l’option/ émetteur de l’option : celui qui s’engage Dans la suite de ce cours on se limitera à l’étude des options européennes sauf mention contraire. INSEA Devolder 27 Exemple de call Utilisation d’une option d’achat ( CALL) : Je suis intéressé par l’achat d’une action de la société ACTUDREAM qui vaut aujourd’hui 30 €. Je ne désire acheter cette action que dans 6 mois mais je crains une hausse du cours à ce moment là. Je suis prêt dans 6 mois à payer jusqu’à 35 € mais pas plus. J’achète une option européenne d’achat de sous jacent ACTUDREAM de prix d’exercice 35€ et de maturité 6 mois. Je paie initialement une prime pour cette garantie ( prix de l’option). INSEA Devolder 28 Exemple de call Utilisation d’une option d’achat ( CALL) : Au bout de 6 mois , 2 scénarios peuvent se produire : - exercice de l’option : le cours de ACTUDREAM a dépassé effectivement le cours de 35 € ; par exemple 42 €. Dans ce cas je peux acheter au cours de 35€ un produit valant 42 € ; mon option m’a donc rapporté 42€-35€=7€ - Non exercice de l’option : le cours de ACTUDREAM est en dessous de 35 € ; par exemple 32 €. Dans ce cas la protection à 35 € ne sert à rien . Mon option ne vaut rien. INSEA Devolder 29 Exemple de put Utilisation d’une option de vente( PUT) : J’investis pour compte de mon client un montant de 3500€ dans des actions GENERADREAM de cours initial 35 €. Je lui garantis sur 1 an un intérêt minimal de 4.75 %. Dans un an , je veux être sûr en revendant mes actions d’en obtenir au moins un montant égal à : 3666.25 € J’achète 100 options de vente ( put) sur le sous jacent GENERADREAM de prix d’exercice 36.66 € et de maturité 1 an. uploads/Finance/ modele-mathematique-de-la-finance.pdf

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• Détails
• Publié le Fev 09, 2022
• Catégorie Business / Finance
• Langue French
• Taille du fichier 0.7997MB