Contrôle des systèmes fractionnaires 25 Décembre 2020 Abdoualaziz BEN BRAIM Thè

Contrôle des systèmes fractionnaires 25 Décembre 2020 Abdoualaziz BEN BRAIM Thèse sous la direction de : Pr. Fouad MESQUINE LAEPT, FSSM FST, Université Cadi Ayyad Maroc 53 Introduction Placement de pôles des systèmes fractionnaires Stabilisation robuste des systèmes fractionnaires positifs avec retard et commande contrainte Observateurs positifs pour les systèmes fractionnaires positifs avec contraintes sur la commande Conclusion & perspectives LAEPT, FSSM Plan 1 Introduction 2 Placement de pôles des systèmes fractionnaires 3 Stabilisation robuste des systèmes fractionnaires positifs avec retard et commande contrainte 4 Observateurs positifs pour les systèmes fractionnaires positifs avec contraintes sur la commande 5 Conclusion & perspectives 53 2 Introduction Opérateur fractionnaire Intégrale et dérivée fractionnaire Représentation pseudo-état d’un système LIT fractionnaire d’ordre commensurable Solution de l’équation pseudo-état système fractionnaire d’ordre commensurable Stabilité des systèmes fractionnaires Placement de pôles des systèmes fractionnaires Stabilisation robuste des systèmes fractionnaires positifs avec retard et commande contrainte Observateurs positifs pour les systèmes fractionnaires positifs avec contraintes sur la commande Conclusion & perspectives LAEPT, FSSM Introduction Le calcul fractionnaire a été abordé pour la première fois en 1695, quand Leibniz a écrit une lettre à L ’Hôpital soulevant la possibilité de calculer la dérivée d’ordre " 1 2 " comme généralisation de calcul différentiel à un ordre non entier. FIGURE 1 – Histoire d’invention de calcul fractionnaire 53 3 Introduction Opérateur fractionnaire Intégrale et dérivée fractionnaire Représentation pseudo-état d’un système LIT fractionnaire d’ordre commensurable Solution de l’équation pseudo-état système fractionnaire d’ordre commensurable Stabilité des systèmes fractionnaires Placement de pôles des systèmes fractionnaires Stabilisation robuste des systèmes fractionnaires positifs avec retard et commande contrainte Observateurs positifs pour les systèmes fractionnaires positifs avec contraintes sur la commande Conclusion & perspectives LAEPT, FSSM Introduction Le calcul fractionnaire est une généralisation de la différenciation et de l’intégration d’ordre entier à un ordre non entier. Équations différentielles impliquant des dérivées d’ordre non entier ⇒des modèles adéquats pour divers phénomènes physiques Viscoélasticité Mécanique des fluides Traitement des signaux etc Modèles fractionnaires ⇒modélisation des dynamiques lentes/rapides par rapport à la loi exponentielle. 53 3 Introduction Opérateur fractionnaire Intégrale et dérivée fractionnaire Représentation pseudo-état d’un système LIT fractionnaire d’ordre commensurable Solution de l’équation pseudo-état système fractionnaire d’ordre commensurable Stabilité des systèmes fractionnaires Placement de pôles des systèmes fractionnaires Stabilisation robuste des systèmes fractionnaires positifs avec retard et commande contrainte Observateurs positifs pour les systèmes fractionnaires positifs avec contraintes sur la commande Conclusion & perspectives LAEPT, FSSM Introduction Le calcul fractionnaire est une généralisation de la différenciation et de l’intégration d’ordre entier à un ordre non entier. Équations différentielles impliquant des dérivées d’ordre non entier ⇒des modèles adéquats pour divers phénomènes physiques Viscoélasticité Mécanique des fluides Traitement des signaux etc Modèles fractionnaires ⇒modélisation des dynamiques lentes/rapides par rapport à la loi exponentielle. 53 3 Introduction Opérateur fractionnaire Intégrale et dérivée fractionnaire Représentation pseudo-état d’un système LIT fractionnaire d’ordre commensurable Solution de l’équation pseudo-état système fractionnaire d’ordre commensurable Stabilité des systèmes fractionnaires Placement de pôles des systèmes fractionnaires Stabilisation robuste des systèmes fractionnaires positifs avec retard et commande contrainte Observateurs positifs pour les systèmes fractionnaires positifs avec contraintes sur la commande Conclusion & perspectives LAEPT, FSSM Introduction Le calcul fractionnaire est une généralisation de la différenciation et de l’intégration d’ordre entier à un ordre non entier. Équations différentielles impliquant des dérivées d’ordre non entier ⇒des modèles adéquats pour divers phénomènes physiques Viscoélasticité Mécanique des fluides Traitement des signaux etc Modèles fractionnaires ⇒modélisation des dynamiques lentes/rapides par rapport à la loi exponentielle. 53 Introduction 4 Opérateur fractionnaire Intégrale et dérivée fractionnaire Représentation pseudo-état d’un système LIT fractionnaire d’ordre commensurable Solution de l’équation pseudo-état système fractionnaire d’ordre commensurable Stabilité des systèmes fractionnaires Placement de pôles des systèmes fractionnaires Stabilisation robuste des systèmes fractionnaires positifs avec retard et commande contrainte Observateurs positifs pour les systèmes fractionnaires positifs avec contraintes sur la commande Conclusion & perspectives LAEPT, FSSM Introduction Opérateur fractionnaire La notation générale d’un opérateur fractionnaire est sous la forme : aDα t f(t) (1) a : la condition initiale. D : l’opérateur intégrale-dérivée. α : l’ordre de l’opérateur fractionnaire. L ’opérateur D dépend de signe de α : - si α > 0 = ⇒D désigne "Dérivée" - si α < 0 = ⇒D désigne "Intégrale" 53 Introduction Opérateur fractionnaire 5 Intégrale et dérivée fractionnaire Représentation pseudo-état d’un système LIT fractionnaire d’ordre commensurable Solution de l’équation pseudo-état système fractionnaire d’ordre commensurable Stabilité des systèmes fractionnaires Placement de pôles des systèmes fractionnaires Stabilisation robuste des systèmes fractionnaires positifs avec retard et commande contrainte Observateurs positifs pour les systèmes fractionnaires positifs avec contraintes sur la commande Conclusion & perspectives LAEPT, FSSM Introduction Intégrale et dérivée fractionnaire Intégrale fractionnaire : aD−α t f(t) ≜ 1 Γ(α) Z t a (t −τ)α−1f(τ)dτ, t > a, α ∈R+ (2) Avec Γ(α) est la fonction Gamma donnée par Γ(z) = Z ∞ 0 e−ttz−1dt, z ∈R. (3) Dérivée au sens de Grünwald–Letnikov : LDαf(t)|t=kh = lim h→0 1 hα k ∑ j=0 (−1)j  α j  f(kh −jh) (4) Avec :  n k  = n! k!(n−k+1)! 53 Introduction Opérateur fractionnaire 5 Intégrale et dérivée fractionnaire Représentation pseudo-état d’un système LIT fractionnaire d’ordre commensurable Solution de l’équation pseudo-état système fractionnaire d’ordre commensurable Stabilité des systèmes fractionnaires Placement de pôles des systèmes fractionnaires Stabilisation robuste des systèmes fractionnaires positifs avec retard et commande contrainte Observateurs positifs pour les systèmes fractionnaires positifs avec contraintes sur la commande Conclusion & perspectives LAEPT, FSSM Introduction Intégrale et dérivée fractionnaire Intégrale fractionnaire : aD−α t f(t) ≜ 1 Γ(α) Z t a (t −τ)α−1f(τ)dτ, t > a, α ∈R+ (2) Avec Γ(α) est la fonction Gamma donnée par Γ(z) = Z ∞ 0 e−ttz−1dt, z ∈R. (3) Dérivée au sens de Grünwald–Letnikov : LDαf(t)|t=kh = lim h→0 1 hα k ∑ j=0 (−1)j  α j  f(kh −jh) (4) Avec :  n k  = n! k!(n−k+1)! 53 Introduction Opérateur fractionnaire 6 Intégrale et dérivée fractionnaire Représentation pseudo-état d’un système LIT fractionnaire d’ordre commensurable Solution de l’équation pseudo-état système fractionnaire d’ordre commensurable Stabilité des systèmes fractionnaires Placement de pôles des systèmes fractionnaires Stabilisation robuste des systèmes fractionnaires positifs avec retard et commande contrainte Observateurs positifs pour les systèmes fractionnaires positifs avec contraintes sur la commande Conclusion & perspectives LAEPT, FSSM Introduction Intégrale et dérivée fractionnaire Dérivée au sens de Riemann-Liouville : RDαf(t) ≜DmD−(m−α)f(t) = dm dtm  1 Γ(m −α) Z t 0 f(τ) (t −τ)α−m+1 dτ  (5) Dérivée au sens de Caputo : CDαf(t) ≜D−(m−α)Dmf(t) = 1 Γ(m −α) Z t 0 f (m)(τ) (t −τ)α−m+1 dτ (6) où m −1 < α < m, m ∈N et α ∈R. Les deux dernières définitions sont liées par RDα f(t) − m−1 ∑ k=0 f (k)(0+) tk k! ! =C Dαf(t) (7) 53 Introduction Opérateur fractionnaire 6 Intégrale et dérivée fractionnaire Représentation pseudo-état d’un système LIT fractionnaire d’ordre commensurable Solution de l’équation pseudo-état système fractionnaire d’ordre commensurable Stabilité des systèmes fractionnaires Placement de pôles des systèmes fractionnaires Stabilisation robuste des systèmes fractionnaires positifs avec retard et commande contrainte Observateurs positifs pour les systèmes fractionnaires positifs avec contraintes sur la commande Conclusion & perspectives LAEPT, FSSM Introduction Intégrale et dérivée fractionnaire Dérivée au sens de Riemann-Liouville : RDαf(t) ≜DmD−(m−α)f(t) = dm dtm  1 Γ(m −α) Z t 0 f(τ) (t −τ)α−m+1 dτ  (5) Dérivée au sens de Caputo : CDαf(t) ≜D−(m−α)Dmf(t) = 1 Γ(m −α) Z t 0 f (m)(τ) (t −τ)α−m+1 dτ (6) où m −1 < α < m, m ∈N et α ∈R. Les deux dernières définitions sont liées par RDα f(t) − m−1 ∑ k=0 f (k)(0+) tk k! ! =C Dαf(t) (7) 53 Introduction Opérateur fractionnaire 6 Intégrale et dérivée fractionnaire Représentation pseudo-état d’un système LIT fractionnaire d’ordre commensurable Solution de l’équation pseudo-état système fractionnaire d’ordre commensurable Stabilité des systèmes fractionnaires Placement de pôles des systèmes fractionnaires Stabilisation robuste des systèmes fractionnaires positifs avec retard et commande contrainte Observateurs positifs pour les systèmes fractionnaires positifs avec contraintes sur la commande Conclusion & perspectives LAEPT, FSSM Introduction Intégrale et dérivée fractionnaire Dérivée au sens de Riemann-Liouville : RDαf(t) ≜DmD−(m−α)f(t) = dm dtm  1 Γ(m −α) Z t 0 f(τ) (t −τ)α−m+1 dτ  (5) Dérivée au sens de Caputo : CDαf(t) ≜D−(m−α)Dmf(t) = 1 Γ(m −α) Z t 0 f (m)(τ) (t −τ)α−m+1 dτ (6) où m −1 < α < m, m ∈N et α ∈R. Les deux dernières définitions sont liées par RDα f(t) − m−1 ∑ k=0 f (k)(0+) tk k! ! =C Dαf(t) (7) 53 Introduction Opérateur fractionnaire Intégrale et dérivée fractionnaire 7 Représentation pseudo-état d’un système LIT fractionnaire d’ordre commensurable Solution de l’équation pseudo-état système fractionnaire d’ordre commensurable Stabilité des systèmes fractionnaires Placement de pôles des systèmes fractionnaires Stabilisation robuste des systèmes fractionnaires positifs avec retard et commande contrainte Observateurs positifs pour les systèmes fractionnaires positifs avec contraintes sur la commande Conclusion & perspectives LAEPT, FSSM Introduction Représentation pseudo-état d’un système LIT fractionnaire d’ordre commensurable La représentation pseudo-états d’un système LIT fractionnaire est donnée par  D βx(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) , uploads/Finance/ presentation-de-soutenance-de-these-sur-le-controle-des-systeme-fractionnaires.pdf

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• Détails
• Publié le Oct 07, 2021
• Catégorie Business / Finance
• Langue French
• Taille du fichier 1.3678MB