Chapter 1 Prix et couverture d'une option européenne Objectifs: ˆ Introduire un

Chapter 1 Prix et couverture d'une option européenne Objectifs: ˆ Introduire un marché nancier. Donner les principales hypothèses de ce marché. ˆ Relier la notion mathématique de probabilité risque neutre aux notions économiques d'arbitrage et de marché complet. 1.1 Marché complet avec 1 action et 1 actif sans risque 1.1.1 Modélisation Le marché est composé uniquement de deux actifs: ˆ Une action S (évolution stochastique). ˆ L'obligation sans risque B (évolution déterministe). Comme nous l'avons vu dans le chapitre précédent, l'évolution de l'action peut être décrite comme l'exponentielle stochastique du processus de rendement: Sn = S0 n Y i=1 (1 + ∆Ri) où ∆Rn = ∆Sn Sn−1 est le rendement de l'action entre l'instant i −1 et l'instant i. Rn est le processus de rendement cumulé: Rn = n X i=1 ∆Ri Pour l'obligation sans risque, on suppose que sa valeur initiale est de 1 et que le taux d'intérêt sur une période est constant et égal à r. L'évolution de l'obligation est alors: Bn = (1 + r)n Nous utiliserons toujours cette formule d'actualisation par la suite. 1.1.2 Actualisation Un euro aujourd'hui n'a pas la même valeur qu'un euro demain. Sur les marchés nanciers, l'évolution de la valeur de l'argent est déterminée par le taux sans risque. Lorsque l'on veut connaître la valeur aujourd'hui d'un actif, il faut alors regarder sa valeur diminuée du taux sans risque, ie sa valeur actualisée: 1 2 CHAPTER 1. PRIX ET COUVERTURE D'UNE OPTION EUROPÉENNE Dé nition 1. Soit Bn le prix à l'instant n d'un actif sans risque de prix initial B0 = 1. La valeur actualisée d'un actif S est: e Sn = Sn Bn 1.1.3 Stratégie de gestion Dé nition 2. Une stratégie de gestion est dé nie par deux processus (αn)0≤n≤N et (βn)0≤n≤N prévisibles donnant respectivement à chaque instant n la quantité αn d'actions S détenues et la quantité βn d'obligations B détenues:  (α0, β0) sont F0 −mesurables ∀n ≥1 (αn, βn) sont Fn−1 −mesurables Interprétation: ˆ Le nombre d'actions et d'obligations détenues à l'instant n correspond au nombre d'actions et d'obligations achetées à l'instant n −1. ˆ αn et βn sont des processus. Comme ils sont prévisibles, on pourra eectuer des calculs d'espérance conditionnelle plus facilement. Mais ce ne sont pas des nombres puisque leurs valeurs changent à chaque instant. La valeur Vn d'un portefeuille à l'instant n est donné par: Vn = αnSn + βnBn La valeur actualisée de ce même portefeuille est: e Vn = αnSn + βnBn Bn = αn e Sn + βn 1.1.4 Condition d'auto nancement Pour pouvoir étudier l'évolution d'un portefeuille, il faut interdire les apports et les retraits de fond au cours de la période. On appelle cette contrainte la condition d'auto nancement: Dé nition 3. Un portefeuille est dit auto nancé si il satisfait la relation suivante pour tout n: αnSn + βnBn = αn+1Sn + βn+1Bn Interprétation: En d'autres termes, on a uniquement le droit de rebalancer notre portefeuille (ie de changer le nombre d'obligations et d'actions à chaque instant). Sous cette condition, la variation d'un portefeuille dépend uniquement de la variation des actifs: ∆Vn = αn∆Sn + βn∆Bn L'aspect aléatoire du portefeuille ne dépend donc que de l'aléa de l'action. Dé nition 4. Une stratégie est dite admissible si elle est auto nancée et si sa valeur est positive à tout instant: Vn ≥0 ∀0 ≤n ≤N On permet les ventes à découvert mais cette condition limite le nombre de ces ventes. 1.1.5 Arbitrage et stratégie admissible Dé nition 5. On dit qu'il existe une opportunité d'arbitrage s'il existe un portefeuille auto nancé tel que: V0 = 0, Vn ≥0 ∀n ≤N, et P(VN > 0) > 0 Interprétation: Un arbitrage est un gain sans risque. Une stratégie d'arbitrage est la stratégie de gestion qui permet de prendre avantage d'un arbitrage. Sur les marchés nanciers développés, il est naturel de supposer l'absence d'arbitrage. 1.2. PROBABILITÉ RISQUE NEUTRE 3 1.1.6 Marché sans friction Pour pouvoir étudier l'évolution des actions, il nous faut tout d'abord simpli er la réalité de manière raisonnable. Pour cela, on décrit un marché idéal, le marché sans friction. Les principales caractéristiques d'un marché sans friction sont: ˆ Liquidité parfaite. ˆ Pas d'asymétrie d'information. ˆ Trading en temps continu. ˆ Pas de coûts de transactions. 1.1.7 Marché complet Un marché complet est un marché sans friction et sans opportunité d'arbitrage où toutes les sources d'aléa sont réplicables, ie toutes les sources d'aléa sont des actifs nanciers que l'on peut acheter. Dé nition 6. Un marché est dit complet si pour toute variable aléatoire X : Ω→R+, il existe un portefeuille auto nancé Π qui réplique X à l'échéance N, c'est à dire tel que: VN(ω) = X(ω), ∀ω ∈Ω Interprétation: Plutôt que la dé nition abstraite, il faut retenir d'un marché complet son interprétation nancière. Un marché est complet lorsque chaque processus stochastique est un actif nancier que l'on peut acheter (ou une fonction d'un actif). Cette dernière hypothèse est l'hypothèse la plus forte de celles données jusqu'à présent, dans le sens où c'est la moins réaliste. Néanmoins, nous allons voir maintenant qu'elle a une intérêt mathématique important, puisqu'elle simpli e fortement les résultats en terme de pricing d'options. Dans la suite, nous supposerons toujours que le marché est sans friction, sans arbitrage et complet. 1.2 Probabilité risque neutre Comme nous l'avons vu à plusieurs reprises, le calcul du prix d'une option ne prend pas en compte la probabilité qu'un cours descende ou monte. En eet, la banque ne veut prendre aucun risque: elle veut couvrir complètement le risque de l'option grâce à un portefeuille de couverture. Le vendeur d'une option choisit une mesure de probabilité qui ne correspond pas à la mesure "réelle" (et inconnue) mais une mesure qui permet de calculer exactement le prix du risque d'une option à partir du portefeuille de couverture. Dé nition 7 (Probabilité risque neutre). On dit que P∗est une probabilité risque neutre si: ˆ P∗est équivalent à la probabilité réelle, c'est à dire P∗(A) = 0 ssi P(A) = 0. ˆ Le prix actualisé de l'action, noté (e Sn)0≤n≤N, est une martingale sous P∗. Interprétation: ˆ La première condition impose que les événements soient les mêmes sous les deux proba- bilités. Cette propriété s'interprète facilement sur un arbre. Une mesure équivalente à la mesure physique est une mesure qui change les probabilités de transition mais qui conserve la structure de l'arbre (ie les noeuds). ˆ La deuxième condition est une conséquence de la couverture du risque de l'option. Lorsque l'on construit un portefeuille de couverture, on élimine le risque de l'option. Le portefeuille de couverture est donc un produit sans risque pour le vendeur de l'option, bien qu'il soit investit dans une action. Etant sans risque, le portefeuille doit rapporter le même rendement 4 CHAPTER 1. PRIX ET COUVERTURE D'UNE OPTION EUROPÉENNE que l'obligation sans risque (sinon il y a un arbitrage). Comme l'évolution du portefeuille de couverture ne dépend que de l'évolution de l'actif, le rendement de l'actif doit être égal au rendement de l'obligation sans risque sous la probabilité risque neutre. Ceci est équivalent de dire que l'actif actualisé est martingale. En eet: E(∆Sn+1 Sn |Fn) = ∆Bn+1 Bn ⇔ E(Sn+1 Sn |Fn) = Bn+1 Bn ⇔ E( Sn+1 Bn+1 |Fn) = Sn Bn |{z} Sn est Fn−mesurable ⇔ E(e Sn+1|Fn) = e Sn On rappelle que le processus Bn = (1 + r)n est déterministe. A l'instant 0, on peut donner sa valeur pour tout n. En d'autres termes, le processus Bn est F0-mesurable. Il se comporte donc comme un nombre dans les calculs d'espérances conditionnelles. En résumé, si l'on peut couvrir parfaitement un risque, cela revient à dire que l'action rapporte en moyenne le taux sans risque et donc que son prix actualisé est une martingale. Remarque 1. Attention: la mesure risque-neutre est la mesure du vendeur d'options unique- ment. Pour la spéculation, ie lorsque l'on crée un portefeuille d'actions pour gagner de l'argent, la mesure associée est la mesure physique, qui est diérente. En eet, vous espérez que le rendement de vos actions soit supérieur au rendement du taux sans risque!!! D'après la dé nition de la probabilité risque neutre et d'un portefeuille auto nancé, on ob- tient la proposition suivante. On remarque que c'est également une conséquence naturelle de l'interprétation faite ci-dessus. Proposition 1. S'il existe une probabilité risque neutre P∗alors la valeur réactualisée d'un porte- feuille auto nancé e V est une martingale sous P∗. La preuve est importante (à savoir faire). Preuve: e Vn = αnSn + βnBn Bn = αn e Sn + βn Condition d'auto nancement: e Vn−1 = αnSn−1 + βnBn−1 Bn−1 = αn e Sn−1 + βn E∗(e Vn|Fn−1) = E(αn e Sn + βn|Fn−1) = αnE∗(e Sn|Fn−1) + βn | {z } (αn,βn) sont prévisibles + P5 et P2 = αn e Sn−1 + βn | {z } e Sn est une martingale sous P∗ = e Vn−1 | {z } Condition d'auto nancement ■ Pour pouvoir utiliser la probabilité risque neutre et faire uploads/Finance/ prix-de-couverture-d-une-option-europeene.pdf

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• Publié le Mai 18, 2021
• Catégorie Business / Finance
• Langue French
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