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La rémunération du risque La rémunération du risque Mesure et comportement du r

La rémunération du risque La rémunération du risque Mesure et comportement du rendement des actifs risqués Mesure du rendement des actifs risqués Risque et incertitude On confond souvent dans le langage courant les contextes de risque et d'incertitude. On supposera dans la suite de ce document que le contexte est risqué, c'est-à-dire que l'on peut définir chaque " futur " (scénario) possible, et lui affecter une probabilité. Ainsi, on a vu dans le cadre de l'évaluation des actifs financiers que la série des dividendes futurs actualisés permet d'évaluer l'action. Toutefois, le dividende n'est pas connu à l'avance avec certitude : on en est donc réduit à utiliser des valeurs probables. Lorsqu'il est nécessaire de remplacer l'ensemble des valeurs probables par un seul nombre les représentant, on utilisera généralement l'espérance. L'espérance mathématique L'espérance mathématique se calcule en faisant la somme des produits des différentes valeurs possibles par leurs probabilités respectives : avec : E(DPA) l'espérance du dividende par action DPAk la possibilité k de réalisation du dividende par action Pk la probabilité associée à cette réalisation N le nombre total de possibilités Exemple Soit la distribution de probabilités suivantes pour le dividende de l'année prochaine (en milliers d'euros) : Probabilité de réalisation Valeur possible des dividendes 0.15 4 500 0.20 6 000 0.30 9 000 0.20 12 000 0.15 13 500 On calcule le dividende espéré en appliquant la formule de l'espérance mathématique. Probabilité de réalisation Pk Valeur possible des dividendes DPAk Pkx DPAk Espérance mathématique E(DPA) 9 000 0.15 4 500 675 0.20 6 000 1 200 0.30 9 000 2 700 0.20 12 000 2 400 0.15 13 500 2 025 Rendement d'un titre (rappel) L'équation générale qui lie le rendement d'un titre quelconque, son prix et les paiements futurs attachés à sa détention s'écrit : avec : P0 le prix de l'actif à l'instant 0 Ft le flux (paiement) de la période t N l'horizon (le nombre de périodes) r le rendement Exemple Soit une action dont on attend successivement pour les années 1, 2, 3, 4 les dividendes suivants : 2, 2, 3 et 3,50 euros et une valeur de cession de 23 euros à l'année 4. Pour obtenir un rendement au moins égal à 12 %, à quel prix doit-on acheter l'action? Le prix d'achat P0 est tel que : Rendement d'un portefeuille Le rendement d'un portefeuille est égal à la moyenne pondérée des rendement des valeurs qui constituent le portefeuille. La pondération pour chaque valeur est égale au pourcentage investi dans la valeur par rapport à la totalité investie dans le portefeuille. L'équation est la suivante : avec : E(rp) l'espérance de rendement r du portefeuille p n le nombre de valeurs (lignes) dans le portefeuille Xj la proportion du portefeuille investie dans la valeur j E(rj) le rendement attendu (ou espérance de rendement) de la valeur j Exemple Le tableau ci-dessous décrit un portefeuille constitué de deux valeurs distinctes et permet de calculer le rendement attendu du portefeuille à partir du rendement attendu de chaque valeur, et de son poids dans le portefeuille. Valeur j Proportion investie X j Taux de rendement attendu E(r j) Contribution au rendement X jx E(r j) Total 1 0,162 1,0 0,3 0,12 0,036 2 0,7 0,18 0,126 Faiblesses de l'approche traditionnelle et alternative Le problème du choix de portefeuille se pose de la manière suivante : quelles actions sélectionner parmi celles que l'on envisage de détenir ? Un investisseur préfère a priori avoir un rendement élevé plutôt que faible. Ce principe doit s'appliquer au rendement de son portefeuille d'actifs et non à chacun des actifs qui entrent dans sa composition. On perçoit très vite la difficulté de maximiser le rendement en investissant dans plusieurs actions : si l'on suppose que l'action la plus rentable offre un rendement de 30 %, cela signifie que tout autre action a un rendement au mieux identique ou, dans le cas le plus général, inférieur à 30 %. Tout portefeuille combinant l'action la plus rentable et l'une quelconque des autres actions ne propose qu'un rendement inférieur à 30 % par ce principe de moyenne. Le rendement ne peut donc pas être maximisé de la sorte, et il en résulte que tout individu ne devrait investir que dans une seule et même action. On constate pourtant dans la réalité qu'aucun gérant de portefeuille ne déroge au vieil adage boursier selon lequel il ne faut pas mettre tous ses oeufs dans le même panier, et ils construisent ainsi des portefeuilles diversifiés comprenant un grand nombre d'actions différentes. Intuitivement, le paradoxe provient de ce que l'approche traditionnelle ignore trois éléments : les cours des actions ne sont pas affectés de la même manière par les mêmes évènements ; les rendements qui ont été calculés sur plusieurs périodes évoluent en fait de période en période ; les différences de comportement ont des conséquences sur le rendement et le risque d'un portefeuille. On va donc s'intéresser maintenant aux mesures de ces similarités ou différences de comportement entre les titres, pour aborder ensuite les conséquences que cela engendre au niveau du risque et de sa rémunération. La corrélation entre les rendements des actifs risqués La notion de covariance Soient deux actions i et j, dont le rendement moyen observé est respectivement moy(ri) et moy(rj). La covariance est une mesure de l'amplitude de la « co-variation » des rendements de deux titres, c'est-à-dire de leur tendance à varier plus ou moins ensemble : dans le même sens et les mêmes proportions. La covariance entre les deux va tenir compte des similitudes (covariance élevée) ou des différences (covariance faible) dans l'évolution des rendements observés, respectivement ritet rjt, par rapport à leur moyenne. Et cela par confrontation, pour chaque date t, de l'amplitude et du signe des écarts (rit- moy(ri)) et (rjt- moy(rj)) : Sur la base de données prévisionnelles, lorsque les rendements de i et de j ne sont connus qu'en fonction d'un certain nombre K de scénarios k dont la probabilité de réalisation est notée Pk, la formule devient : Exemple On observe pour le titre i et le titre j les rendements suivants sur sept périodes consécutives : t rit rjt 1 5% 10% 2 -3% 15% 3 -7% 17% 4 11% 21% 5 18% 12% 6 23% -1% 7 15% -3% Vous êtes invités à vérifier que moy(ri) = 8,86% et moy(rj) = 10,14%. On peut alors calculer la covariance. Chaque ligne du tableau ci-dessous représente un terme de la somme de la formule proposée : t rit- moy(ri) rjt- moy(rj) [rit- moy(ri)] x [rjt- moy(rj)] somme -0,03638572 covariance -0,006 1 -0,0386 -0,0014 0,00005404 2 -0,1186 0,0486 -0,00576396 3 -0,1586 0,0686 -0,01087996 t rit- moy(ri) rjt- moy(rj) [rit- moy(ri)] x [rjt- moy(rj)] 4 0,0214 0,1086 0,00232404 5 0,0914 0,0186 0,00170004 6 0,1414 -0,1114 -0,01575196 7 0,0614 -0,1314 -0,00806796 En l'état, le seul commentaire que l'on puisse faire porte sur le signe de la covariance : étant négative, elle indique que les rendements des titres i et j ont tendance à évoluer en sens inverse, ce que l'on retrouve intuitivement dans le tableau de données ou celui servant aux calculs. En revanche, on n'est pas en mesure d'apprécier la synchronisation de ces cycles et donc le degré de fiabilité de leur relation commune. La notion de corrélation La corrélation mesure le degré et le sens de la relation qu'ont en commun deux variables, ici le rendement de deux actifs risqués. Il est difficile d'interpréter et de comparer la valeur des covariances, en dehors de leur signe, puisqu'on ne dispose pas d'échelle de mesure dans l'absolu. La corrélation pallie ce problème en transposant la covariance dans l'intervalle [-1 ; +1]. Le coefficient de corrélation entre i et j, noté ρ;ij, apporte le complément d'information nécessaire par le rapport de la covariance aux écarts-types (L'écart-type, égal à la racine carrée de la variance, sera présenté à la section suivante. On se focalise ici sur le sens et l'interprétation de la corrélation.) des rendements de chacune des deux actions : Exemple Pour l'exemple, l'écart-type de i est 11,05 % et celui de j 9,03 %. Leur coefficient de corrélation est de ce fait : Il s'agit d'une corrélation négative moyenne, indiquant que les cycles de hausse et de baisse des rendements de i et j sont opposés mais ne sont pas totalement synchrones (dans le tableau de données, les cycles sont plus long pour j que pour i). L'optimisation de la relation rendement-risque Mesurer la volatilité du rendement des actifs risqués Volatilité d'un actif risqué isolé Le risque d'un titre, c'est-à-dire l'incertitude de ses rendements futurs, est lié à la plus ou moins grande dispersion (vs précision) des valeurs futures. Pour mesurer cette dispersion, on utilise la variance ou l'écart-type. La variance est égale au carré de l'écart-type. Il s'agit de mesurer quel est le risque que le rendement réalisé s'écarte du rendement prévu en moyenne (le rendement espéré). Le risque ainsi envisagé est de nature symétrique : le rendement obtenu pouvant être supérieur ou inférieur au rendement espéré. Sur la base uploads/Finance/ remuneration-du-risque.pdf