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2e B et C 1 Position. Vitesse. Accélération 1 Mécanique : Cinématique du point

2e B et C 1 Position. Vitesse. Accélération 1 Mécanique : Cinématique du point La mécanique est le domaine de tout ce qui produit ou transmet un mouvement, une force, une déformation : machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de transmission, pistons, etc.). La cinématique étudie les mouvements des corps. Au premier chapitre, nous définirons les grandeurs physiques nécessaires à la description des mouvements. Au deuxième chapitre, nous étudierons les mouvements rectilignes. Chapitre 1 : Position. Vitesse. Accélération 1. Référentiel. Repère a) Cinématique du point La cinématique est l’étude du mouvement des corps. Nous ne considérerons que des corps de faibles dimensions de sorte qu’ils seront toujours assimilables à un point appelé “le mobile”. Les grandeurs physiques de la cinématique sont le temps, la position, la vitesse et l’accélération. "Etudier le mouvement" veut dire : 1) Trouver l’équation de la trajectoire du mobile. 2) Trouver la relation mathématique (= équation) entre vitesse et temps. (Connaissant cette relation on peut calculer la vitesse du mobile à n'importe quel instant, ou bien l'instant correspondant à n'importe quelle vitesse.) 3) Trouver la relation entre position et temps. (Connaissant cette relation on peut calculer la position du mobile à n'importe quel instant, ou bien l'instant correspondant à n'importe quelle position.) 4) Trouver la relation entre vitesse et position. (Connaissant cette relation on peut calculer la vitesse du mobile à n'importe quelle position, ou bien la position pour n'importe quelle vitesse.) 2e B et C 1 Position. Vitesse. Accélération 2 b) La description du mouvement n’est pas la même dans tous les référentiels La description d’un mouvement se fait par rapport à un corps (ou un système de plusieurs corps immobiles les uns par rapport aux autres), choisi comme référence, appelé référentiel. Voici quelques référentiels couramment utilisés : Terre (avec tous les corps en repos par rapport à la Terre : salle de classe,...) ; masse d’air en mouvement par rapport à la Terre ; train, voiture, avion en mouvement par rapport à la Terre ; système formé par le centre de la Terre et trois étoiles fixes (= référentiel géocentrique). Exemple Deux voyageurs A et B sont assis dans un wagon en mouvement. Le voyageur A observe B et conclut : B est immobile. Le chef de gare C se trouvant sur le quai où passe le train, observe B et conclut : B est en mouvement. Ces deux observations sont-elles contradictoires ? Non, car elles sont faites dans deux référentiels différents : A fait ses observations dans le référentiel du wagon, C fait ses observations dans le référentiel lié à la Terre. Exemple La Tour Eiffel est immobile dans le référentiel terrestre, mais décrit un mouvement circulaire uniforme dans le référentiel géocentrique. (Quel est le rayon de la trajectoire ?) Pour décrire mathématiquement les caractéristiques d’un mouvement, un observateur utilise un repère (repérage de la position) et une horloge (mesure du temps) liés au référentiel d’observation. Un repère est déterminé par une origine O et par une base. Le plus souvent la base est orthonormée : le repère est alors appelé repère cartésien (O, i , j , k ) ! Les axes Ox et Oy perpendiculaires entre-eux, forment un plan. L’axe Oz est perpendiculaire à ce plan. Souvent le mouvement se déroule dans un plan et un repère (O, i , j ) à 2 dimensions définissant ce plan suffit. Si le mouvement est rectiligne, un seul axe Ox parallèle au mouvement suffit. Ce sera le cas des mouvements rectilignes étudiés au chapitre suivant. 2e B et C 1 Position. Vitesse. Accélération 3 c) Le temps (t) est une grandeur physique fondamentale Dans le domaine des sciences comme dans la vie courante, le temps intervient de deux manières : 1) La durée ou l’intervalle de temps qui s’écoule entre deux événements. 2) La date ou l’instant auquel un événement a lieu. Pour exprimer une date il est nécessaire de définir une origine des temps t0 : il faut choisir un événement et lui attribuer conventionnellement la date “zéro” (t0 = 0). Les événements qui se sont produits avant l’instant t0 ont des dates t < 0. Les événements qui se sont produits après l’instant t0 ont des dates t > 0. Toute durée est une différence de deux dates, et est donc indépendante de l’origine des temps ! Si deux événements se produisent à des instants t1 et t2 > t1, alors l’intervalle de temps (ou la durée) entre ces événements est t2  t1 > 0. Le temps est mesuré à l’aide d’horloges. On utilise comme horloges, soit des phénomènes naturels, soit des événements artificiels qui se reproduisent régulièrement, à des intervalles de temps successifs égaux. Tels sont l’alternance du jour et de la nuit, le mouvement du balancier d’une pendule ou d’une montre, l’oscillation électrique dans un cristal de quartz (montres électroniques). L’horloge est d’autant plus précise que le phénomène utilisé est plus régulier. L’unité S.I. (Système International d’unités) du temps est la seconde (s). A condition que la vitesse du référentiel soit largement inférieur à la vitesse de la lumière (v < 0,1c), l’écoulement du temps se fait de la même façon quel que soit le choix du référentiel et du repère. (Point de vue de la physique “classique”) Exemple Deux cyclistes A et B roulent côte à côte à la vitesse de 30 km/h. Subitement A accélère et B constate qu’au bout de 3 s, A a pris une avance de 10 m. Un piéton C au bord de la route et ayant tout observé conclut de même que B, qu’il a fallu 3 s pour que A prenne une avance de 10 m sur B. La durée entre les deux événements “A commence à accélérer” et “A a une avance de 10 m” vaut 3 s aussi bien dans le référentiel de B que dans celui de C. 2e B et C 1 Position. Vitesse. Accélération 4 d) La trajectoire du point dépend du référentiel La trajectoire est l'ensemble des positions successives occupées par le mobile M lors de son mouvement. Elle est représentée par une courbe dans l’espace. Comme toute courbe, la trajectoire est déterminée, dans un repère donné, par son équation mathématique. La forme de la trajectoire dépend du référentiel choisi. 2. Position d’un mobile a) Vecteur position et coordonnées cartésiennes Soit M le mobile et (O, i , j , k ) le repère choisi. La position de M à chaque instant est repérée par les coordonnées (ou composantes) x, y, z du vecteur position   OM . Mathématiquement : k z j y i x OM         et 2 2 2 z y x OM    Si le repère est orthonormé x, y, z sont appelés coordonnées cartésiennes du point M. S’il y a mouvement les coordonnées x, y, z varient dans le temps. Les fonctions x = f(t), y = g(t) et z = h(t) sont appelées équations horaires du mouvement. Le mouvement d’un point M est parfaitement connu si on connaît ces équations horaires ! Exemple : Sachant que x = 2t, y = 4t2+3, z = 0, on peut calculer la position de M pour tout instant t. 2e B et C 1 Position. Vitesse. Accélération 5 b) Abscisse curviligne Si la trajectoire d’un mobile M est connue, on peut l’orienter et choisir un point origine O. La valeur algébrique de l’arc  OM est l’abscisse curviligne s du point M. * s > 0 si en allant de O à M on se déplace dans le sens de l’orientation. * s < 0 si en allant de O à M on se déplace dans le sens inverse de l’orientation. Le bon sens impose qu’on oriente la trajectoire dans le sens du mouvement. Le déplacement (positif) d’un mobile se trouvant initialement en M1 (abscisse curviligne s1) à l’instant t1 et arrivant en M2 (abscisse curviligne s2) à l’instant t2, est évidemment : 2 1 s s s   s est indépendant de l’origine O ! Exemple Sur une carte routière, la « distance » entre deux villes ne représente en fait rien d’autre que l’abscisse curviligne d’une ville avec l’origine placée sur l’autre ville. Attention : Ces « distances routières » ne correspondent pas du tout aux distances au sens mathématique (en ligne droite). Ainsi, si la cathédrale de Luxembourg sert d’origine O, l’église de Bertrange se situe à une abscisse curviligne s = 7 km suivant le chemin routier le plus court. La distance au sens mathématique entre ces deux points par contre ne vaut que 5 km. Un piéton situé sur la trajectoire à s’ = 5,5 km doit se déplacer de s = 1,5 km pour gagner l’église de Bertrange (en suivant la trajectoire préalablement fixée). S’il y a mouvement s varie au cours du temps. La relation s = f(t) est appelée équation horaire du mouvement. Elle détermine complètement le mouvement de M. Exemple Connaissant la trajectoire, le sens + et l’origine uploads/Geographie/ 01-position-vitesse-acceleration.pdf