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Maurice Chossat · Yannick Privat 3e édition Aide-mémoire de MATHÉMATIQUES DE L’

Maurice Chossat · Yannick Privat 3e édition Aide-mémoire de MATHÉMATIQUES DE L’INGÉNIEUR © Dunod, Paris, 2001, 2010, 2012 978-2-10-058561-8 V © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit Table des matières Table des matières Partie A : Algèbre et géométrie 1 1. Arithmétique, algèbre et trigonométrie 3 1.1 Symboles usuels de l’algèbre 3 1.2 Structures algébriques 4 1.3 Calculs dans l’ensemble des nombres réels 6 1.4 Numération binaire 10 1.5 Algèbre de la logique ou algèbre de Boole 13 1.6 Analyse combinatoire 15 1.7 Équations algébriques 18 1.8 Déterminants, systèmes linéaires et matrices 24 1.9 Fonctions usuelles simples 40 1.10 Croissance et limites 46 1.11 Nombres complexes ou imaginaires 49 1.12 Trigonométrie 50 1.13 Séries 61 2. Calcul vectoriel et calcul tensoriel 77 2.1 Calcul vectoriel 77 2.2 Vecteurs glissants. Moments 81 2.3 Analyse vectorielle 84 2.4 Calcul tensoriel 90 3. Géométrie 97 3.1 Birapport, critère de cocyclicité 97 3.2 Géométrie et formules du triangle 98 3.3 Géométrie analytique 106 VI ide-mémoire de Mathématiques de l’ingénieur 3.4 Propriétés métriques des courbes planes 117 3.5 Courbes en coordonnées polaires r = f (θ) 119 3.6 Problèmes relatifs au cercle 121 3.7 Coniques 124 3.8 Géométrie dans l’espace 138 Partie B : Analyse et probabilités 163 4. Éléments d’analyse 165 4.1 Dérivées et différentielles 165 4.2 Intégrales 174 4.3 Équations différentielles 213 4.4 Équations intégrales 225 4.5 Calcul des variations 228 5. Analyse numérique 231 5.1 Dérivation numérique, différences finies 231 5.2 Calcul approché des intégrales définies 234 5.3 Polynômes d’interpolation de Lagrange 238 5.4 Résolution numérique d'équations non linéaires 239 5.5 Méthodes numériques de résolution des équations différentielles 246 5.6 Optimisation dans Rn 249 6. Fonctions diverses 261 6.1 Intégrales de Fresnel 261 6.2 Sinus intégral et cosinus intégral 262 6.3 Fonction Θ ou fonction d’erreur et fonction π 263 6.4 Fonctions eulériennes 264 6.5 Fonction hypergéométrique 268 VII © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit Table des matières 6.6 Fonctions de Bessel 269 6.7 Fonctions de Kelvin 277 6.8 Série et polynômes de Legendre 279 6.9 Fonction de Weber-Hermite 281 6.10 Polynômes de Tchebycheff 284 6.11 Polynômes de Laguerre 287 7. Algèbre des transformations 289 7.1 Transformation de Laplace 289 7.2 Transformation de Fourier 309 7.3 Transformation de Mellin 311 7.4 Transformations réciproques et transformation de Hankel 315 8. Probabilités et statistiques 319 8.1 Probabilités 319 8.2 Éléments de statistiques 341 Index 353 99 © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit A Algèbre Algèbre et géométrie 1 3 © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit 1.1 Symboles usuels de l’algèbre Symboles Symboles dits quantificateurs ∀ signifie « quel que soit » ; par exemple ∀a ∈ E, quel que soit a appartenant à E. ∃ signifie « il existe » ; par exemple ∃a ∈ E, il existe a appartenant à E, tel que ... . a ∈ E a est un élément de l’ensemble E. a ∉ E a n’appartient pas à E. Symbole de l’inclusion signifiant que F est un sous- ensemble de E, c’est-à-dire contenu dans E et pouvant être E lui-même. ∅ Ensemble vide. E ∩ F Intersection de E et de F ; ensemble des éléments communs à E et à F. E ∪ F Réunion de E de F ; ensemble des éléments apparte- nant soit à E, soit à F, soit à leur intersection. CA Complémentaire de A sous-ensemble de E ; on a A ∩ CA = ∅. a b = c Relation exprimant que c est le résultat de l’opération interne effectuée sur a et b éléments de E. On trouve aussi : a ⊥ b ; a * b ; a + b ; a . b. a e = e a = a e est l’élément neutre de l’opération . a a′ = e a et a′ sont des éléments symétriques dans l’opération . E F ⊃ F E ⊂ { ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ Arithmétique, algèbre et trigonométrie 4 Algèbre et géométrie aRb a et b satisfont à une relation binaire désignée par R. f (x) x élément de E s’applique sur y, élément de F. y ⇔ f (x) L’application est bijective. f o g application composée signifiant y f [g(x)] ; ne pas confondre avec g o f signifiant y g[f (x)]. a modulo n signifie a + Kn, quel que soit K entier relatif. | a | valeur absolue ou module de a. 1.2 Structures algébriques A) Groupe Groupe abélien : ∀a, b ∈ G : a b = b a (commutativité). y → → → Groupe Ensemble G non vide possédant une loi de composition interne satis- faisant aux axiomes suivants : 1° ∀a, b, c ∈ G : (a b) c = a (b c) (associativité), 2° ∃e ∈ G, ∀a : a e = e a = a (e, élément neutre), 3° ∀a ∈ G, ∃a′ : a′ a = a a′ = e (a′ , symétrique). ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ Propriétés ∀a, b, c ∈ G, a c = b c a = b, c a = c b a = b (tout élément est régulier) ; ∀a, b ∈ G, ∃x ∈ G tel que a x = b : x = a′ b et x a =b : x = b a′. Sous-groupe : G′ G est un sous-groupe de G si ∀a, b ∈ G′ : a b′ ∈ G′ (b′ symétrique de b dans G). ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊂ ⊥ 5 1 Arithmétique, algèbre et trigonométrie © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit B) Anneau Anneau unitaire : ∃e ∈ A, ∀a : ea = ae = e (e, élément neutre pour la deuxième loi, appelé unité). Anneau intègre : ∀a ≠ 0, ∀b ≠ 0 ab ≠ 0 (pas de diviseurs de zéro). C) Corps Anneau Ensemble A muni de deux lois de composition interne satisfaisant aux axiomes suivants : I. A est un groupe abélien pour la première loi (addition) : 1° ∀a, b, c ∈ A : (a + b) + c = a + (b + c) ; 2° ∃0 ∈ A, ∀a : a + 0 = 0 + a = a ; 3° ∀a ∈ A, ∃(– a) : a + (– a) = (– a) + a = 0 ; 4° ∀a, b ∈ A : a + b = b + a. II. ∀a, b, c ∈ A : (ab) c = a(bc) (associativité de la multiplication). III. ∀a, b, c ∈ A : a(b + c) = ab + ac, (a + b) c = ac + bc (distributivité). ⇒ Propriétés ∀a, b : (– a) b = a(– b) = (– ab), ∀a : a.0 = 0.a = 0. Corps Ensemble K muni de deux lois de composition interne satisfaisant aux axiomes suivants : I. K est un groupe abélien pour la première loi (addition). 1° ∀a, b, c ∈K : (a + b) + c = a +(b + c), 2° ∃0 ∈K, ∀a : a + 0 = 0 + a = a, 3° ∀a ∈K, ∃(– a) : a +(– a) = (– a) + a = 0, 4° ∀a, b ∈K : a + b = b + a. II. K (privé de 0) est un groupe pour la deuxième loi (multiplication). 1° ∀a, b, c ∈K : (ab) c = a(bc), 2° ∃e ∈K, ∀a : ea = ae = a, 3° ∀a ≠ 0, ∃a–1 : aa–1 = a–1 a = e, III. ∀a, b, c ∈K : a(b + c) = ab + ac, (a + b) c = ac + bc. Corps commutatif (ou droit) : la deuxième loi est commutative. 6 Algèbre et géométrie 1.3 Calculs dans l’ensemble des nombres réels 1.3.1 Exposants et radicaux Exposants : p, q entiers positifs, négatifs ou nuls, a et b réels différents de 0 a° = 1, a–p = , ap aq = ap + q, (ap)q = apq, (ab)p = a pb p, = . Radicaux : n, q entier positifs, p entier relatif, a et b réels = b ⇔ a = bq, = = = = am. m, m′ rationnels, a et b réels positifs am am′ = am + m′ , (am)m′ = amm′ , a–m = , (ab)m = am bm, = . 1.3.2 Identités usuelles 1 a p - - - - - a b - - - - ⎝ ⎠ ⎛ ⎞p a p b p - - - - - a q a nq a q n anp nq a p q a p q - - - 1 am - - - - - - a b - - - ⎝ ⎠ ⎛ ⎞m am bm - - - - - - a b ± ( )2 a2 2ab ± b2 + = a2 b2 – a b uploads/Geographie/ aide-memoire-de-mathematiques-de-lingenieur-3eme-edition.pdf